数学的公理化

数学的公理化
  十九世纪末到二十世纪初，数学已开展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些根底的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。
经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的开展，各种几何学的开展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个方法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。
对于根底概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，那么是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在?
几何学根底?中做出的。
1初等几何学的公理化
十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍成认之后，开始了对于几何学根底的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间〞等没有严格的定义；另外，对于公理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。
在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。
十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学〞(1899)，由于根本概念太少(只有“点〞和“运动〞)而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。
希尔伯特的?几何学根底?的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学根底的开展，他这部著作重版屡次，已经成为一本广为流传的经典文献了。
希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面〞。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、面的直观意义要抛掉，应该研究的只是它们之间的关系，关系由公理来表达。几何学是对空间进行逻辑分析，而不诉诸直观。
希尔伯特的公理系统包括二十条公理，他把它们分为五组：第一组八个公理，为关联公理〔附属公理〕；第二组四个公理，为次序公理；第三组五个公理；第四组是平行公理；第五组二个，为连续公理。
数学数组的定义是什么希尔伯特在建立公理系统之后，首要任务是证明公理系统的无矛盾性。这个要求很自然，否那么如果从这个公理系统中推出相互矛盾的结果来，那么这个公理系统就会毫无价值。希尔伯特在?几何学根底?第二章中证明了他的公理系统的无矛盾性。这次，他不能象非欧
几何那样提出欧氏模型，他提出的是算术模型。
实际上，由解析几何可以把点解释为三数组(可以理解为坐标(x、y、z))，直线表示为方程，这样的模型不难证明是满足所有20个公理的。因此，公理的推论假设出现矛盾，那么必定在实数域的算术中表现出来。这就把几何学公理的无矛盾性变成实数算术的无矛盾性。
其次，希尔伯特考虑了公理系统的独立性，也就是说公理没有多余的。一个公理如果由其他公理不能推出它来，它对其他公理是独立的。假设把它从公理系统中删除，那么有些结论就要受到影响。希尔伯特证明独立性的方法是建造模型，使其中除了要证明的公理(比方说平行公理)之外其余的公理均成立，而且该公理的否认也成立。
由于这些公理的独立性和无矛盾性，因此可以增减公理或使其中公理变为否认，并由此得出新的几何学。比方平行公理换成其否认就得到非欧几何学；阿基米德公理〔大意是一个短线段经过有限次重复之后，总可以超出任意长的线段〕换成非阿基米德的公理就得到非阿基米德几何学。希尔伯特在书中详尽地讨论了非阿基米德几何学的种种性质。