三次函数的求根公式
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
其中a、b、c和d为实数且a不等于0。根据代数学原理，对于三次方程，最多存在三个根，可能有重根或复根。三次函数的求根公式有多种不同的形式，以下将介绍其中两种常见的求根公式：一种是基于二次复合正负开方，另一种是基于牛顿迭代法。
第一种求根公式的推导始于文艺复兴时期的意大利数学家Cardano，他首次给出了解一般三次方程的方法。为了简化公式推导，引入变量y，将原方程变形为：
x^3 + px + q = 0
其中p和q为实数。接下来的步骤是将原方程转化为一个二次方程，然后进行求解。首先，引入两个新的变量u和v，使得x的三次项系数为0：
x=u+v
通过展开和合并同类项的方式，我们可以将方程转化为一个关于u和v的二次方程：
(u+v)^3+p(u+v)+q=0
展开并合并同类项后，化简得到：
u^2v + 3uv^2 + pu + pv + q = 0
为了使得方程中的二次项系数为0，我们要求uv的系数为0，即uv = -p/3、再进行变量替换，引入新的变量s和t，使得：
u^3+v^3=s
3uv = t
则有：
u^3+v^3=u^3+(t/(3u))^3=s
移项后，可以得到一个关于u的代数方程：
u^6 + pu^3 - (t^3)/27 = 0
这是一个关于u^3的三次方程，可以使用前述的二次根公式解出一个u^3的表达式：
u^3 = [-p/2 +/- sqrt((p/2)^2 + (t^3)/27)]^(1/3)
由于方程中(u+v)^3的展开有3个项等于s，因此还需要更多的麦克劳林展开来抵消掉余下的项。通过进一步的推导，可以得到：
v^3=[s+p/(3u)]^3
v=[s+p/(3u)]^(1/3)
由于u和v是x的根的形式，可以将u和v的表达式代入x=u+v的式子中，就可以得到三次函数的求根公式。
第二种求根公式是牛顿迭代法的应用。牛顿迭代法是一种通过逼近的方式求根的方法。对于三次函数，迭代的过程可以使用以下公式表示：
x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
c语言牛顿迭代法求根其中，x_n表示第n次迭代的根的近似值，f(x)表示原方程，f'(x)表示f(x)的导数。通过反复迭代，选择一个初值x_0，经过多次迭代，可以得到一个逼近于实际根的解。
综上所述，以上是两种常见的三次函数的求根公式。第一种基于Cardano的方法，通过引入新的变量和二次方程转化求解。第二种是牛顿迭代法，通过逼近的方式求得方程的根。