电磁场的仿真
一、实验目的与要求
1. 掌握微分方程工具箱的使用方法；
2. 掌握使用偏微分方程工具箱分析电磁场。
二、实验原理及说明
偏微分方程的工具箱（PDE toolbox ）是求解二维偏微分方程的工具，MA TLAB 专门设计了一个应用偏微分方程的工具箱的演示程序以帮助使用者快速地了解偏微分方程的工具箱的基本功能。操作方法是在MA TLAB 的指令窗口键入pdedemos ，打开Command Line Demos 窗口，只要单击任意键就会使程序继续运行，直至程序运行结束。单击信息提示按钮（Info ）是有关演示窗口的帮助说明信息。8个偏微分方程的演示程序分别是泊松方程、亥姆霍兹方程、最小表面问题、区域分解方法、热传导方程、波动方程、椭圆型方程自适应解法和泊松方程快速解法。
（一）偏微分方程的工具箱的基本功能
偏微分方程的工具箱可以求解一般常见的二维的偏微分方程，其基本功能是指它能解的偏微分方程的类
型和边值条件。用户可以不必学习编程方法仅仅在图形用户界面窗口进行操作，就能得到偏微分方程的数值解。    1．工具箱可解方程的类型
定义在二维有界区域Ω上的下列形式的偏微分方程，可以用偏微分方程工具箱求解：
椭圆型()f au u c =+∇•∇- 抛物型()f au u c t
u
d
=+∇•∇-∂∂ 双曲型()f au u c t
u
d =+∇•∇-∂∂22
本征值方程()du au u c λ=+∇•∇-
式中，u 是偏微分方程的解；c 、a 、d 、f 是标量复函数形式的系数，在抛物型和双曲型方程中，它们也可以是t 的函数，λ是待求的本征值。    当c 、a 、f 是u 的函数时，称之为非线性方程，形式为
()()()()u f u u a u u c =+∇•∇-
也可以用偏微分方程工具箱求解。    2．工具箱可解方程的边值条件
解偏微分方程需要的边值条件一般为下面两种之一：
狄里赫利(Diriclet)边值条件  hu=r
广义诺曼(Generalized Neumann)边值条件 ()g qu u c n =+∇•
式中，n
为边界外法向单位向量；h 、q 、r 、g 是在边界上定义的复函数。狄里赫利(Diriclet)边值条件也称为第一类边值条件，广义诺曼(Generalized Neumann)边值条件则称为第三类边值条件，如果q=0则称为第二类边值条件。
对于偏微分方程组而言，狄里赫利(Diriclet)边值条件是    h 11u 1  + h 12u 2  = r 1
h 21u 1  + h 22u 2  = r 2
（二）用工具箱解偏微分方程的步骤
用偏微分方程工具箱解偏微分方程有两种方法： 一是在它的图形用户界面中进行操作。
另一是利用偏微分方程工具箱提供的指令编程计算。 工具箱解偏微分方程的步骤如下：
1.设置定解问题。使用偏微分方程工具箱的用户界面中的三个模式：
Draw 模式，画出求解方程的区域，如矩形、正方形、圆形、椭圆或它们的组合； Boundary 模式，定义求解的边值条件；
PDE 模式，定义求解所用的偏微分方程，主要是设定方程的类型及系数c 、a 、d 、f 。对不同的子区域和媒质要设置不同的系数加以区别。    2.解偏微分方程。主要用到如下两个模式：
Mesh 模式，将求解区域划分为三角形网格，网格的参数根据要求可以改变； Solve 模式，求解偏微分方程。    3.将结果可视化。
在Plot 模式下实现计算结果的可视化。
实验内容和步骤
问题1
截面为正方形的无限长线电荷如下图所示。设电荷面密度为02πε；边长2a =。请采用Matlab 的PDETool 工具箱仿真区域oABC 的电磁场分布。说明场的边值问题，给出边界oA 、AB 、BC 、Co 上的边界条件。
问题1求解
由对称性知，边界Co 上的边界条件是0ϕ=，边界oA 上的边界条件是
0n
ϕ
tool工具箱
∂=∂。当区域oABC 足够大时，边界AB 、BC
可视为距离线电荷无穷远，边界条件也是0ϕ=。因此可以根据边界条件利用Matlab 的PDETool 工具箱仿真区域oABC 的电场分布。
如图，矩形R1表示处于区域oABC 中的部分线电荷，以20×20的矩形R2表示区域oABC 。则R1内有电荷，设为泊松方程：
R2-R1内无电荷，设为拉普拉斯方程：
再分别设置AB 、BC 、Co 上的边界条件为0ϕ=：
设置oA 上的边界条件为
0n
ϕ
∂=∂：
再经过剖分求解，得到以下仿真结果。
以上结果是假设区域oABC的大小为20×20得出的，可以看出Co、oA上的电场线分布是符合实际的，但不能确定在20×20的大小内AB、BC是否已经距离线电荷足够远以至可
ϕ=，因此，再仿真一个大小为100×100的结果进行对比：
以认为0