浮点数的表⽰⽅法
简单回顾⼀下，简单来说，⽤定点数表⽰数字时，会约定⼩数点的位置固定不变，整数部分和⼩数部分分别转换为⼆进制，就是定点数的结果。
但⽤定点数表⽰⼩数时，存在数值范围、精度范围有限的缺点，所以在计算机中，我们⼀般使⽤「浮点数」来表⽰⼩数。
这篇⽂章，我们就来详细看⼀下浮点数到底是如何表⽰⼩数的，以及浮点数的的范围和精度有多⼤。
什么是浮点数？
⾸先，我们需要理解什么是浮点数？
之前我们学习了定点数，其中「定点」指的是约定⼩数点位置固定不变。那浮点数的「浮点」就是指，其⼩数点的位置是可以是漂浮不定的。
这怎么理解呢？
其实，浮点数是采⽤科学计数法的⽅式来表⽰的，例如⼗进制⼩数 8.345，⽤科学计数法表⽰，可以有多种⽅式：
8.345 = 8.345 * 10^0
8.345 = 83.45 * 10^-1
8.345 = 834.5 * 10^-2
...
看到了吗？⽤这种科学计数法的⽅式表⽰⼩数时，⼩数点的位置就变得「漂浮不定」了，这就是相对于定点数，浮点数名字的由来。
使⽤同样的规则，对于⼆进制数，我们也可以⽤科学计数法表⽰，也就是说把基数 10 换成 2 即可。
浮点数如何表⽰数字？
我们已经知道，浮点数是采⽤科学计数法来表⽰⼀个数字的，它的格式可以写成这样：
V = (-1)^S * M * R^E
其中各个变量的含义如下：
S：符号位，取值 0 或 1，决定⼀个数字的符号，0 表⽰正，1 表⽰负
M：尾数，⽤⼩数表⽰，例如前⾯所看到的 8.345 * 10^0，8.345 就是尾数
R：基数，表⽰⼗进制数 R 就是 10，表⽰⼆进制数 R 就是 2
E：指数，⽤整数表⽰，例如前⾯看到的 10^-1，-1 即是指数
如果我们要在计算机中，⽤浮点数表⽰⼀个数字，只需要确认这⼏个变量即可。
假设现在我们⽤ 32 bit 表⽰⼀个浮点数，把以上变量按照⼀定规则，填充到这些 bit 上就可以了：
假设我们定义如下规则来填充这些 bit：
符号位 S 占 1 bit
指数 E 占 10 bit
尾数 M 占 21 bit
按照这个规则，将⼗进制数 25.125 转换为浮点数，转换过程就是这样的（D代表⼗进制，B代表⼆进制）：
1. 整数部分：25(D) = 11001(B)
2. ⼩数部分：0.125(D) = 0.001(B)
所以符号位 S = 0，尾数 M = 1.001001(B)，指数 E = 4(D) = 100(B)。
按照上⾯定义的规则，填充到 32 bit 上，就是这样：
浮点数的结果就出来了，是不是很简单？
但这⾥有个问题，我们刚才定义的规则，符号位 S 占 1 bit，指数位 E 占 10 bit，尾数 M 占 21 bit，这个规则是我们拍脑袋随便定义出来的。
如果你也想定⼀个新规则，例如符号位 S 占 1 bit，指数位 E 这次占 5 bit，尾数 M 占 25 bit，是否也可以？当然可以。
按这个规则来，那浮点数表⽰出来就是这样：
我们可以看到，指数和尾数分配的位数不同，会产⽣以下情况：
1. 指数位越多，尾数位则越少，其表⽰的范围越⼤，但精度就会变差，反之，指数位越少，尾数位则越多，表⽰的范围越⼩，但精度就
会变好
2. ⼀个数字的浮点数格式，会因为定义的规则不同，得到的结果也不同，表⽰的范围和精度也有差异
早期⼈们提出浮点数定义时，就是这样的情况，当时有很多计算机⼚商，例如IBM、微软等，每个计算机⼚商会定义⾃⼰的浮点数规则，不同⼚商对同⼀个数表⽰出的浮点数是不⼀样的。
这就会导致，⼀个程序在不同⼚商下的计算机中做浮点数运算时，需要先转换成这个⼚商规定的浮点数格式，才能再计算，这也必然加重了计算的成本。
那怎么解决这个问题呢？业界迫切需要⼀个统⼀的浮点数标准。
浮点数标准
直到1985年，IEEE 组织推出了浮点数标准，就是我们经常听到的 IEEE754 浮点数标准，这个标准统⼀了浮点数的表⽰形式，并提供了 2种浮点格式：
单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit
双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit
为了使其表⽰的数字范围、精度最⼤化，浮点数标准还对指数和尾数进⾏了规定：
1. 尾数 M 的第⼀位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表⽰了 24 位
有效数字，双精度 52 位尾数可以表⽰ 53 位有效数字
2. 指数 E 是个⽆符号整数，表⽰ float 时，⼀共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存⼊ E
时在它原本的值加上⼀个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表⽰ double 时，⼀共占 11 bit，存⼊ E 时加上中间数1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
除了规定尾数和指数位，还做了以下规定：
指数 E ⾮全 0 且⾮全 1：规格化数字，按上⾯的规则正常计算
指数 E 全 0，尾数⾮ 0：⾮规格化数，尾数隐藏位不再是 1，⽽是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表⽰ 0 和很⼩的数
指数 E 全 1，尾数全 0：正⽆穷⼤/负⽆穷⼤（正负取决于 S 符号位）
指数 E 全 1，尾数⾮ 0：NaN(Not a Number)
标准浮点数的表⽰
有了这个统⼀的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：
1. 整数部分：25(D) = 11001(B)
2. ⼩数部分：0.125(D) = 0.001(B)
所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：
这就是标准 32 位浮点数的结果。
如果⽤ double 表⽰，和这个规则类似，指数位 E ⽤ 11 bit 填充，尾数位 M ⽤ 52 bit 填充即可。
浮点数为什么有精度损失？
我们再来看⼀下，平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想⽤浮点数表⽰ 0.2，它的结果会是多少呢？
0.2 转换为⼆进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在⼩数为⽌，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是⼆进制的结果。
0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
浮点型变量float0.2 * 2 = 0.4 -> 0（发⽣循环）
...
所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。
因为⼗进制的 0.2 ⽆法精确转换成⼆进制⼩数，⽽计算机在表⽰⼀个数字时，宽度是有限的，⽆限循环的⼩数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致⼩数精度发⽣损失的情况。
浮点数的范围和精度有多⼤？
最后，我们再来看⼀下，⽤浮点数表⽰⼀个数字，其范围和精度能有多⼤？
以单精度浮点数 float 为例，它能表⽰的最⼤⼆进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（⼩数点后23个1），⽽⼆进制 1.11111…1 ≈ 2，所以 float 能表⽰的最⼤数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表⽰范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。
它能表⽰的精度有多⼩呢？
float 能表⽰的最⼩⼆进制数为 0.0000….1（⼩数点后22个0，1个1），⽤⼗进制数表⽰就是 1/2^23。
⽤同样的⽅法可以算出，double 能表⽰的最⼤⼆进制数为 +1.111…111（⼩数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 *
10^308，所以 double 能表⽰范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。
double 的最⼩精度为：0.0000…1(51个0，1个1)，⽤⼗进制表⽰就是 1/2^52。
从这⾥可以看出，虽然浮点数的范围和精度也有限，但其范围和精度都已⾮常之⼤，所以在计算机中，对于⼩数的表⽰我们通常会使⽤浮点数来存储。
总结
这篇⽂章我们主要讲了数字的浮点数表⽰⽅式，总结如下：
1. 浮点数⼀般⽤科学计数法表⽰
2. 把科学计数法中的变量，填充到固定 bit 中，即是浮点数的结果
3. 在浮点数提出的早期，各个计算机⼚商各⾃制定⾃⼰的浮点数规则，导致不同⼚商对于同⼀个数字的浮点数表⽰各不相同，在计算时
还需要先进⾏转换才能进⾏计算
4. 后来 IEEE 组织提出了浮点数的标准，统⼀了浮点数的格式，并规定了单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double，从此以后各个计
算机⼚商统⼀了浮点数的格式，⼀直延续⾄今
5. 浮点数在表⽰⼩数时，由于⼗进制⼩数在转换为⼆进制时，存在⽆法精确转换的情况，⽽在固定 bit 的计算机中存储时会被截断，所
以浮点数表⽰⼩数可能存在精度损失
6. 浮点数在表⽰⼀个数字时，其范围和精度⾮常⼤，所以我们平时使⽤的⼩数，在计算机中通常⽤浮点数来存储