python牛顿法求函数最小值
牛顿法是一种求解方程根或最小值的方法，也被称为牛顿-拉弗森方法。它使用函数的一阶和二阶导数来逼近函数的局部极小值点或者多项式的解。在本文中，我们将探讨如何用Python实现牛顿法来求解函数的最小值。
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牛顿法原理
对于求解单个变量函数最小值的情况，牛顿法的原理可以简述如下：
假设f(x)是要求解的函数，x0是初始值，假设我们已知f(x)的一阶和二阶导数，那么可以通过以下公式来随着迭代次数n的增加不断逼近x的最小值点：
x(n+1) = x(n) - (f'(x(n)) / f''(x(n)))
换句话说，我们可以得到一个关于x的方程，如下所示：
f'(x) = 0
通过不断迭代求解，x的值会趋近于f(x)的最小值点。请注意，此方法的收敛性和初始值有很大关系，因此需要谨慎选择初始值，以免导致更新计算结果发散。
使用牛顿法求解函数最小值
下面我们使用Python编写一个牛顿法收敛于目标函数最小值的例子。此处我们将使用SciPy库中的wton函数，该函数使用Newton-Raphson方法求解单变量非线性方程的根（或最小值）。
首先，让我们定义函数f(x)。在这个例子中我们将使用以下函数：
f(x) = x^3 - 2x^2 + 2
linspace函数python我们可以在Python中实现如下：
def f(x):
return x**3 - 2*x**2 + 2
接下来，我们需要到f(x)的一阶和二阶导数，这可以通过SymPy库来实现。SymPy不仅可以求函数的导数，还可以将导数计算式子从字符串表示转换为Python表达式。
import sympy
#定义符号x
x = sympy.symbols('x')
#定义函数f(x)
fx = x**3 - 2*x**2 + 2
#求f(x)的一阶和二阶导数
f_prime = sympy.diff(fx, x, 1)
f_second = sympy.diff(fx, x, 2)
#打印函数对应的一阶和二阶导数
print(f'f(x)的一阶导数为：{f_prime}')
print(f'f(x)的二阶导数为：{f_second}')
上面的输出应该显示：
f(x)的一阶导数为：3*x**2 - 4*x
f(x)的二阶导数为：6*x - 4
现在我们已经有所有必要的信息，可以使用SciPy.optimize库的wton函数求解函数最小值了。下面是完整Python代码，包括用matplotlib库来绘制函数图像和最小值点：
import sympy
import scipy.optimize
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#定义符号x
x = sympy.symbols('x')
#定义函数f(x)
fx = x**3 - 2*x**2 + 2
#求f(x)的一阶和二阶导数
f_prime = sympy.diff(fx, x, 1)
f_second = sympy.diff(fx, x, 2)
#打印函数对应的一阶和二阶导数
print(f'f(x)的一阶导数为：{f_prime}')
print(f'f(x)的二阶导数为：{f_second}')
#绘制函数曲线
x_vals = np.linspace(-2, 2, 1000)
plt.plot(x_vals, f(x_vals))
#使用wton函数求解函数最小值点，并显示在图中
x_min = wton(f_prime, x0=1.5, fprime2=f_second)
plt.plot(x_min, f(x_min), 'ro')
#显示图像
plt.show()
执行上面的代码后，应该可以得到以下输出：
f(x)的一阶导数为：3*x**2 - 4*x