《矩阵分析与应用》专题报告 QR分解及应用——
学生姓名：卢楠、胡河、朱浩 日月年20151125 
1 引言.............................................................. 3
2 QR分解 ........................................................... 4
2.1QR分解的性质 ................................................ 4
2.2 QR分解算法 ................................................. 5
2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解...................... 5
2.2.2 Householder QR分解 ................................... 6
2.2.3 采用Givens旋转的QR分解.............................. 8
3 QR分解在参数估计中的应用 ......................................... 9
QR 分解的参数估计问题 ................................ 93．1 基于
Householder 变换的快速时变参数估计 .................... 3. 2基于12
Givens 旋转的时变参数估计 ............................. 3. 3基于14
4 QR分解在通信系统中的应用 ........................................ 16
4.1 基于QR分解的稳健干扰对齐算法.............................. 16
MIMOQR 置信传播检测器........................ 14.2基于 分解的9
总结............................................................... 21
参考文献........................................................... 22
1 引言
  矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和，大体上可以分为满秩分解、QR分解和奇异值分解。矩阵分解在矩阵分析中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。而QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。QR分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛
应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为Hessenberg矩阵，然后再应用QR分解求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R，所以称为QR分解。
  参数估计是在已知系统模型结构时，用系统的输入与输出数据计算系统模型参数的过程。它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。18世纪末德国数学家C.F.高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。参数估计有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方
差无偏估计、最小风险估计、同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。其中最基本的是最小二乘法和极大似然法。
  本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用。
2 QR分解
2.1QR分解的性质
m?nm?n和，则存在列正交矩阵QR分解）若，且定理2.1.1（n?m RQ?R?Am?nQQRA=是正交矩阵。如果。当是非上三角矩阵使得时，A  nm?RR?n?nQRR 和  的所有对角线元素均为正，并且在这种情况下矩阵，则 奇异的Q 和 取复值。二者是唯一的。若 是复矩阵，则 RATTTR=RA=(QR)A(QR)T 是  ,因此可以得出结论：  注意到的TR=GAACholelskeyR 因子。由于这个原因，在关于估计的文献中，矩阵下三角常称为
平方根滤波器（算子）。
  下面的引理称为矩阵分解引理，它在矩阵的QR分解的应用中是一个很有结果。
m?nBA 是任意两个2.2.1 若矩阵，则 和    引理  (2.1.1) HHBA=ABmm?Q 酉矩阵当且仅当存在一个，使得 
B=QA(2.1.2)
 
QA=BQ 是酉矩阵，并充分性证明：若且，则    证明
HHHH 。 AQAQB=B=AAAB 的奇异值分解分别为和  必要性证明：令 
HVU?A=                                AAAHV?B=U                                BBBn?nm?mm?nUUVV 矩 都是 酉矩阵； 酉矩阵；式中，和  而 均为 和BABA??AB 的非负奇异值。由于分别包含了矩阵  阵  和和BAHHHAA=V??V                              AAAAHHHBB=V??V                              BBBBV=V??? 和 ,则有 。定义矩阵若 HHB=AABBABA．
HU=UQ                                ABHHHHB?=UV=UQA=UA=UUU?V    易知BABBAAABBA[10]  这就证明了引理的必要条件。 分解算法2.2 QR Gram-Schmidt法的QR分解2.2.1 采用修正正交分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法实现。Gram-Schmidt矩阵 的QRA,...,aa,a的向量化方法原本是一种由n个向量 构造互相正交且范数为1n12q,...,qa,qq  的方法。将向量  标准正交化的结果取作，即1n121?aR??111(2.2.1)
  ?Rq?q??1111qaa，然后，从  中除去与再进行标准正交化， 平行的向量，并将结果取作221 则有H?a?qR2121?R?Ra?q(2.2.2)
  ?122221?R?q?(aqR)?2212122aaa平行的两个分量，再进行标准正交化，并使用 除去与  和进而，又从231q 该结果作，即有 3H?aqR?3131?HaR?q?3232(2.2.3)
  ?RR?q??Raq?232133133?R?R?aqq)R(?q?3322333131q(2?k?n) 如此继续，则对于有 k
??H1??kR?q,1a?j?kjjk? 1?k??Rqa?R?(2.2.4)
  ?jkjkkk?1j??1k???Rq?(a?)qR33kjkjk??1?jq 是标准正交基，即满足 容易验证，iH??qq(2.2.5)
  ijji?aa...a?n?m则其中，， 为Kronecker 函数。如果令 的列向量  矩阵Anij,,1,233xxkkq...qqQ 为列向量的矩阵之间有下列关系：以 与  An1,,2,QRA=(2.2.6)
 
q 又由于组成标准正交基，所以 iHIQQ=                                nQ正交化的方法叫做经典 重写在同一矩阵，应用以上Gram-Schmidt 将与A[6] 。Gram-Schmidt正交化法 2.2.2 Householder QR分解n?m其原理是使用变维Householder变换可以实现任意分解，的QR 矩阵 A 0变换，使得该向量除第一个元素外，其他元素皆为。向量的HouseholderTp??x,...,,x?xx的 Householder根据变换的相关知识，欲使一个 维向量??p12p ，则 维的Householder向量应取第1个元素后面的所有元素变为0?ex?1?w  (2.2.7)
??)(x?1 式中
x ?? 1x?  ??xx,?  (2.2.8)
1x1m?nA 的列分块形式为 假定  矩阵
??aa?Aa...                        ??n,2,1,n?m