线性代数习题 第二章 （附详解）
第二章 矩阵及其运算
【编号】ZSWD2023B0061 1  已知线性变换
3
21332123
2113235322y y y x y y y x y y y x    求从变量x 1  x 2  x 3到变量y 1  y 2  y 3的线性变换
解：  由已知
221321323513122y y y x x x
故
3211
221323513122x x x y y y
321423736947y y y                          3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y
2  已知两个线性变换
3
2133212311542322y y y x y y y x y y x                3233122
11323z z y z z y z z y
求从z 1  z 2  z 3到x 1  x 2  x 3的线性变换      解：  由已知
221321514232102y y y x x x
32131
010
2013514232102z z z
321161109412316z z z
所以有                3
21332123
2111610941236z z z x z z z x z z z x
3  设          111111111A
150421321B  求3AB  2A 及A T
B
解：
1111111112150421321111111111323A AB
2294201722213211111111120926508503
092650850150421321111111111B A T
4  计算下列乘积
(1)
127075321134
解：
127075321134                        102775132)2(71112374
49635
(2)
123)321(
解：
123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)
(3))21(312
解：  )21(312
23)1(321)1(122)1(2
6321
42
(4)
204131210131
43110412    解：
20
4
131
21013143110412          6520876
(5)
321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x    解：
321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3  a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3  a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)
321x x x
3223311321122
33322222
111222x x a x x a x x a x a x a x a
5  设
3121A
2101
B  问
(1)AB  BA 吗?    解：  AB  BA        因为
64
43
AB
8321
BA    所以AB  BA
(2)(A  B)2
A 2
2AB  B 2
吗?    解：  (A  B)2
A 2
2AB  B 2
因为
5222
B A
52
22
52
22
)(2B A
2914148
但                            43011288611483222B AB A
27151610  所以(A  B)2
A 2
2AB  B 2
(3)(A  B)(A  B) A 2
B 2
吗?
33xxkk
解：  (A  B)(A  B) A 2
B 2
因为
5222
B A
1020
B A
906010205222))((B A B A
而
718243011148322B A    故(A  B)(A  B) A 2
B 2
6  举反列说明下列命题是错误的      (1)若A 2
0  则A  0
解： 取
0010
A  则A 2
0  但A  0      (2)若A 2
A  则A  0或A  E    解： 取
0011A  则A 2
A  但A  0且A  E          (3)若AX  AY  且A  0  则X  Y    解：  取
0001A          1111X
1011
Y
则AX  AY  且A  0  但X  Y
7  设
101 A  求A 2
A 3
A k
解：
12011011012  A
1301101120123  A A A