专题03 三角形中的旋转综合问题
1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？
（1）证明：如图①中，连接OP．
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
3d综合版
∴PA＝PB．
（2）如图②中，
∵∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，
∴∠CPD＝∠APB，
∴∠APC＝∠BPD，
∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，
∴△PAC≌△PBD（ASA），
∴AC＝BD，
∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，
∴OA＝6.5．
（3）设点P的旋转时间为t秒．
①当0＜t＜12时，不存在．
②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时10t﹣120＝2t，
t＝15．
③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH ＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时300﹣10t＝2t，
t＝25．
④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时10t﹣300＝2t，
t＝37.5，
综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．
2、（1）问题发现：
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．
填空：①的值为；
②∠AMB的度数为．
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，