2020考研数学三真题及解析
一、选择题：1~8 小题，第小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.设()sin ()sin lim ,lim x x f x a f x a b x a x a
3 d→∞→∞--=--则A.sin b a
C.sin ()
b f s ()
b f a 答案：B 解析：
sin ()sin [()]lim lim cos cos .x a x a f x a f x a b a x a x a
ξ→→--==--（其中ξ介于()f x 与a 之间）
∴选B 2.()()11ln |1|()12x x e x f x e x -+=
--第二类间断点个数A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点
111110000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222
x x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点
1122ln |1|lim ()lim (1)(2)
x x x x e x f x e x -→→+==∞--2x =为第二类间断点1
111ln |1|lim ()lim 0(1)(2)
x x x x e x f x e x ---→→+==--
1111ln |1|lim ()lim (1)(2)
x x x x e x f x e x ++-→→+==∞--1x =为第二类间断点1
11
1ln |1|lim ()lim (1)(2)x x x x e x f x e x -→-→-+==∞--1x =-为第二类间断点
3.设奇函数()f x 在(,)-∞+∞上具有连续导数，则
A.
[]0cos ()'()x f t f t dt +⎰是奇函数B.
[]0cos ()'()x f t f t dt +⎰是偶函数C.
[]0cos '()()x f t f t dt +⎰是奇函数D.[]0
cos '()()x f t f t dt +⎰是偶函数答案：A 解析：0
()[cos ()()]d x F x f t f t t '=+⎰()cos ()()
F x f x f x ''=+由()f x 为奇函数知，()f x '为偶函数.
cos ()f x 为偶函数.故()F x '为偶函数.
()F x 为奇数∴选A
4.设幂级数1(2)
n n n na x ∞=-∑的收敛区间为（-2，6），则21(1)
n n n a x ∞=+∑的收敛区间为
A.（-2，6）
B.（-3，1）
C.（-5，3）
D.（-17，15）
答案：B
解析：由于1111(1)11lim lim 4n n n n n n
n a a na a R ρ++→∞→∞+====
12121lim    4.4n n n
a R a ρρ+→∞===∴=
  22R '∴==，故所求收敛域为（-3，1），
∴选B.
5.设4阶矩阵()ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组，*A 为A 的伴随矩阵，则*
0A x =的通解为
A.112233
x k k k ααα=++B.112234
x k k k ααα=++C.112334
x k k k ααα=++D.122334
x k k k ααα=++答案：C
解析：
∵A 不可逆
∴|A |=0
∵120
A ≠∴()3r A =∴*()1
r A =∴*0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.∵*||0
A A A E ==∴A 的每一列都是*0A x =的解
又∵120A ≠∴134,,ααα线性无关∴*0A x =的通解为112334x k k k ααα=++，故选C.
6.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于-1
的特征向量，则1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
的可逆矩阵P 为A.1323(,,)
αααα+-B.1223(,,)
αααα+-C.1332(,,)
αααα+-D.1232(,,)
αααα+-答案：D
解析：
1122
,A A αααα==33
A αα=-1100010001P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.
α-1232(,,)
P αααα∴=+-∴选D
7.设,,A B C 为三个随机事件，且1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =,()P AC =1()12P BC =
，则,,A B C 中恰有一个事件发生的概率为A.3
4  B.23  C.1
2  D.5
12
答案：D 解析：
()()()[()]
P ABC P ABUC P A P A BUC ==-
()()
()()()()
111004126
P A P AB AC P A P AB P AC P ABC =-+=+-+=--+=()()()[()]()()()()
111004126
P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ==-=--+=--+=()()()[()]()()()()
111104121212
P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC ==-=--+=--+=()()()()1115661212
P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++=++=8.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布10,0;1,4;2N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是  A.5()5
X Y +  B.5()5X Y -
C.()3X Y +
D.
()3X Y -答案：C
解析：
[]12()cov(,)333D X Y DX DY X Y ⎤+=++⎥⎣⎦