数据的集中趋势与离散程度——知识讲解
撰稿：杜少波  责编：张晓新
【学习目标】
1、掌握平均数、加权平均数的意义和求法，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．
2、了解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法，并会一组数据的众数.
3、了解方差的意义及求法，体会用样本方差估计总体方差的思想，能用方差解决一些实际问题.
4、从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用.
【要点梳理】
要点一、平均数和加权平均数
1.平均数
一般地，如果有个数据，那么，就是这组数据的算术平均数，简称平均数，用“”表示.即.
要点诠释：
（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任意一个数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
2.加权平均数
若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（其中++…+=n，k≤n）
在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照上述方法求出的平均数，叫做加权平均数.
    数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
要点诠释：
（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. “权”越重，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
要点二、中位数和众数
1.中位数
一般地，当一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.
要点诠释：
（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
要点诠释：
（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是反映数据集中趋势的统计量，能从不同的角度提供信息.
区别：平均数能充分利用数据提供的信息，它的使用最为广泛，能刻画一组数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受极端值的影响.中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.众数反映一组数据中出现次数最多的数据.一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有.
总之，要根据具体问题来选择刻画一组数据的集中程度的统计量，选择的统计量要能够更客观地反映实际背景.
要点四、方差
设一组数据是，它们的平均数是，我们用来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.
一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.
在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.
要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
要点五、用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：
（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
【典型例题】
类型一、平均数、众数和中位数
1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（  ）
A．99.60，99.70        B．99.60，99.60
C．99.60，98.80        D．99.70，99.60
【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．
【答案】B；
【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．
【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
举一反三：
【高清课堂  数据的分析 例8】
【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．
【答案】3.2；3.5；
解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5.
【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（  ）
A．6.2小时    B．6.4小时    C．6.5小时    D．7小时
【答案】B；
解：根据题意得：
（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50
=（50+90+140+40）÷50
=320÷50
=6.4（小时）．
故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时．   
类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题   
2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
    (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；
    (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．
【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.
【答案与解析】
解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
    (2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
      ∴ 候选人甲将被录用．
【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．
举一反三：
【高清课堂  数据的分析 例10】
【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?
【答案】
解：小王平时测试的平均成绩（分）．
所以（分）．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
【高清课堂  数据的分析 例11】
3、下表是七年级(2)班30名学生期中考试数学成绩表(已破损)．
    已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分．
    (1)求该班80分和90分的人数分别是多少?
    (2)设此班30名学生成绩的众数为，中位数为，求的值．
【答案与解析】
解：(1)设该班得80分的有人，得90分的有人．
根据题意和平均数的定义，得
整理得  解得
    即该班得80分的有8人，得90分的有5人．
    (2)因为80分出现8次且出现次数最多．所以＝80，第15、16两个数均为80分，所以＝80，则＝80＋80＝160．
【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解题意，建立等量关系.
举一反三：
【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．
零花钱数额（元）
5
10
15
20
学生个数（个）
15
20
5
请根据图表中的信息，回答以下问题.
    (1)求的值；
    (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．
【答案】
解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
类型三、方差
4.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：
班级
参加人数
中位数
方差
平均字数
甲
  55
149
191
  135
乙
  55
151
110
  135
    分析此表得出如下结论：（    ）
    （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
    （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）
    （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．
3d走视图    A．（1）（2）    B．（1）（2）（3）    C．（2）（3）    D．（1）（3）
【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同.
【答案】B
【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B.
【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义.
举一反三：
【变式】甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（  ）