初中数学关于“锐角三角函数”的知识梳理与习题分析
锐角三角函数是每年中考都会考到的内容，在考试中题目变化多样，问题新颖，同时也经常与勾股定理、四边形等数学知识相结合，关于锐角三角函数知识的学习在初中数学教学中至关重要。本文首先对初中阶段的锐角三角函数相关知识进行了简单的知识梳理，后就锐角三角函数常见的一些数学题型进行了整合与分析，希望能够帮助教师更加具有针对性地展开锐角三角函数教学，进一步提升学生关于这部分知识的学习效果。
锐角三角函数是苏教版九年级下册第七章的内容，也是初等数学中的基础知识，这部分内容的学习对于学生的知识应用与问题解决能力提升都起着重要的作用，同时也能有效增强学生的线性思维敏感度，为学生后续的三角函数学习打下坚实的基础。
一、初中数学“锐角三角函数”的知识梳理
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别为a，b，c，那么：
∠A的对边a与邻边b的比就叫做∠A的正切，也就是tanA，tanA==；
∠A的对边a与斜边c的比就叫做∠A的正弦，也就是sinA，sinA==；
∠A的邻边b与斜边c的比就叫做∠A的余弦，也就是cosA，cosA==。
关键点：1.在三角形中，锐角三角函数的数值与三条边的边长无关，而是与三角形锐角的大小有关。
2.任何一个锐角都具有三角函数，并不因为这个角不在某个三角形中而不存在。
（二）特殊角的三角函数
∠A的度数
三角函数值
0°
30°
45°
60°
90°
sinA
0
1
cosA
1
0
tanA
0
1
不存在
关键点：锐角三角函数与锐角的角度可以互相推算，根据本表可以方便地了解30°、45°、60°角的三角函数，反之也可以由锐角三角函数迅速得出这个角的度数。
（三）锐角三角函数数值的变化
当∠A为锐角时，各三角函数的数值均为正数，当0°≤∠A≤90°时，sinA、tanA会随着角度的增大而增大，而cosA则会随着角度的增大而减小。
（四）三角函数之间的关系
1、互余角的三角函数关系
在Rt△ABC中，如果∠A与∠B互为余角，则Sin（90°-∠A）=cosA=sinB；cos（90°-∠A）=sinA=cosB。
2、平方关系
Sin²α+cos²α=1。
3、商数关系
Tanα=。
4、倒数关系
tanA*tan（90°-∠A）=1或tanA=。
二、初中数学“锐角三角函数”的习题分析
（一）锐角三角函数的定义
例1：如图，在网格中每一个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值为。
图一
解析：本题首先可以结合勾股定理进行计算，得出AC、AB的长，然后结合锐角三角函数的定义来进行作答。通过勾股定理的计算可以得知，AC=√2，AB=2√2，BC=√10，又因为此三角形为直角三角形，所以tan∠B==。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
答案：c=5，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
（二）特殊角的三角函数值的计算
例2：求下列式子的值。
（1）6tan²30°√3sin60°-2sin45°；
（2）√2sin60°-4cos²30°+sin45°*tan60°。
解析：这道题主要考查了三角形特殊角三角函数值相关的知识，学生需要对特殊角三角函数的表格进行熟练记忆，并能够进行特殊角数值之间的推算与转换，遇到此类问题，学生可以先代入特殊角的三角函数数值，在进行化简计算。
（1）原式=6*（）²-√3* -2*=6* - -√2= -√2。
（2）原式=√2* -4*（）²+*√3= -3+=√6-3。
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
答案：∠B=45°，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=。
（三）锐角三角函数之间的关系
例3：已知△ABC中的∠A与∠B满足（1-tanA）²+|sinB-|=0.
（1）是判断△ABC的形状；
（2）求（1+sinA）²-2√cosB*（3+tanC）º的值。
解析：本题主要考查学生对特殊角的三角函数值以及锐角三角函数之间关系的掌握，熟记各特殊角度的三角函数值及各种关系是解决这类题目的关键。
（1）因为（1-tanA）²+|sinB-|=0，由此可以得出tanA=1，sinB=，因此，∠A=45°，∠B=60°，而∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°=60°=75°，△ABC为锐角三角形。
（2）因为∠A=45°，∠B=60°，所以原式=（1+）²-2*√*1=三角函数表格0到90。
（四）锐角三角函数的综合运用
例4：在△ABC中，∠B=45°，BA=10√2，CA=5√5，△ABC的面积为。
解析：本题考查学生对三角函数知识的综合运用情况，可以通过画图建模来解决此类问题。
图二
结合已有的条件，可以将本题的图形绘制成图二，在图中可以过点A作AD⊥BC（或BC的延长线），交BC（或BC的延长线）于点D。因为∠B为45°，而sinB=，因此，AD=sinB*AB=*10√2=10，因为AD⊥BC，∠B=45°，由此可得△ADB为等腰三角形，AD=BD=10，而△ADC为直角三角形，因此DC=√（AC²-AD²）=5，接下来可以分为两种情况来分析。
①设△ABC为锐角三角形，那么△ABC的面积就等于*BC*AD=*（BD+DC）*AD=*（10+5）*10=75；
②设△ABC为钝角三角形，那么△ABC的面积就等于*BC*AD=*（BD-DC）*AD=*（10-5）*10=25。
三、结语
总而言之，学生在学习关于锐角三角函数相关的数学知识时，首先应该理解本章教材中所提到的锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数数值以及三角函数之间的关系，其次，学生需要结合数学问题对这部分知识进行知识的迁移与应用，将这部分的知识迁移到实际生活当中，将实际问题转化为数学问题，再进一步地进行解决。