23.1.3  30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【过程与方法】
1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.
【情感、态度与价值观】
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.
重点难点
【重点】
30°、45°、60°角的三角函数值.
【难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算.
教学进程
一、复习巩固
教师多媒体课件出示:
如图所示:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)a、b、c三者之间的关系是    ;
(2)sinA=    ,cosA=    ,
tanA=    ;
sinB=    ,cosB=    ,
tanB=    .
(3)若∠A=30°,则=    .
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.引出新知
教师多媒体课件出示问题:
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:(1)含30°和60°两个锐角的三角尺;(2)皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.
学生讨论,交流想法.
生:我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
师:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
生:含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC
=2CD,根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2.
解得,CD=a.
则树的高度即可求出.
师:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30°==,则CD=atan30°,岂不简单!你能求出30°角的三个三角函数值吗?
2.讲授新课.
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
师:观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
生:一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.
师:sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
生:sin30°=.sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边长等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边长为a,所以sin30°=.
师:cos30°等于多少?tan30°呢?
生:cos30°=.tan30°=.
师:我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
生:求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°=,cos60°=,tan60°=.
三角函数表格0到90师生共同分析:我们一起来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.如图,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边为a.由此可求得
sin45°=,
cos45°=,
tan45°==1.
教师多媒体课件出示:
  三角函数
角度α 
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
  师:这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记.另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
生:30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为、、,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
师:再来看第二列的函数值,有何特点呢?
生:第二列是30°、45°、60角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从小到大分别为、、,余弦值随角度的增大而减小.
师:第三列呢?
生:第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.
师:很好!掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定会做得很棒!
(2)进一步探究锐角的三角函数值.
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
∵sinA=,cosA=,