用三种方式表示二次函数
【知识要点】
1．二次函数可以用哪些方式表示？它们各有哪些优缺点？
2．二次函数的三种解析法你是如何选择的?
3．选择顶点式和两根式解析法表示有什么优点和缺点？
4．你能总结选择恰当的表示方法来解决二次函数实际应用问题吗？
【典型例题】
# 例1  一个二次函数，它的图象的对称轴是轴，顶点是原点，且经过点．
（1）写出这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）抛物线在对称轴左侧部分随的增大怎样变化？
（4）这个函数有最大值还是最小值．
# 例2  函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式，然后解三元方程组求解；
（1）已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
（2）已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式求解。
（3）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
（4）已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，该二次函数的解析式为                  。
三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式。
（5）二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
# 例3  分析若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=,对称，那么图象还必定经过哪一点？
# 例4  抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）求证：△AOB∽△BDE 。
# 例5  你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图形中应该有多少个小圆圈?为什么?
    (2)完成下表：
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
例6  某产品每件成本10元，在试销阶段每件产品的日销售价（元）与产品的日销售量（件）之间的关系如下表：
（元）
20
25
30
35
（件）
30
25
20
15
（1）在草稿纸上描点，观察点的分布，确定与的函数关系式．
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
例7  某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：
年度
2005
2006
2007
2008
投入技改资金x(万元)
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
表格的函数使用方法
(1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的关系式.
(2)按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元.
1预计生产成本每件比2008年降低多少万元？
②如果打算在2009年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）？
*例8  通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段
时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标
数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示
注意力越集中）.当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，
当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段．
⑴当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x函数关系式；
⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否
经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数
都不低于36．
*例9  已知一次函数，二次函数．（1）根据表中给出值．计算对应的函数值，，并填在表格中．
-3
-2
-1
0
1
2
3
=
=
（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数围，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；
（3）试问是否存在二次函数，其图象经过点（-5，2），且在实数围，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由．