最小二乘法拟合探究
吴春晖
（中国海洋大学 海洋环境学院 山东 青岛 266100）
摘要：
本文的拟合对象为含多个变量的待定系数的多项式。通过最小二乘法对多项式作出拟合，以向量矩阵的形式来解出待定的系数。在matlab中，通过算法，写出具体的解法。之后，先对最小二乘法的准确性作出检验，分析该方法在应对复杂情况的误差。在检验该方法的可行性之后，对给定的变量值进行拟合与解题。同时，本文将对基于Laguerre多项式的最小二乘法进行分析检验，
关键词：最小二乘法 拟合 多变量 Laguerre多项式
引言：
在之前的计算方法中，在给出已知节点后，如果需要根据给出的节点来确定未知节点的值，我
们需要运用插值。在对插值的精准性进行分析后，我们发现不同插值方式的误差都极大，而且插值所得出的函数的特征由插值方式所决定，并不能反映具体的节点原来可能的规律与分布。所以，拟合的方法相比插值而言，并不要求函数值在原节点处的值相等，却能在一定程度上反映原函数的规律。在该文中，我们主要运用最小二乘法进行拟合。
第一章matlab最小二乘法拟合程序
1.1最小二乘法拟合的数学方法
最小二乘法拟合的算法如下：
对于给定的一组数据，求次多项式使总误差 最小．
由于可以视作关于的多元函数，故上述拟合多项式的构造可归结为多元函数的极值问题．
令得到
即有方程组   
    求解该正规方程组，即可得到最小二乘法的拟合系数。
   
1.2 编写最小二乘法的matlab拟合程序
1.2.1程序算法
在最小二乘法的数学算法的基础上，对算法进行优化，给出具体的程序算法。
由线性代数的知识，易知可将每一组变量表现为在一个多维空间的向量。故对于基本方程组而言，无解即代表由多个变量所确定的多维空间的集合中，无法到Y值的向量。在只有两个变量的情况下，即为Y的向量到平面的最短距离的向量与转置的自变量向量的向量积为0.
所以我们可以建立两个矩阵，一个代表Y向量，另一个代表X向量。通过循环求得代表X向量的每个变量的在确定的位置的转置与另一变量的向量积，另一变量为Y或X向量。之后利用左除法解出待定的系数，即得到了我们要知道的具体的函数。
然后通过符号变量，对给定的x值进行运算，并给出拟合值。
1.2.2 最小二乘法拟合的程序
在这里，我们选取了特定的含二次幂，一次幂，常数及负一次幂的多项式进行拟合，每一系数对应一个不同的变量。
具体的程序代码如下：
x=[1 2 1 1];
x1=[2 4 2 3];
x2=[3 6 5 3];
y=[6 14 7 7];
vec_1=x.^-1;
vec_2=x1.^2;
vec_3=ones(1,length(x));matlab拟合数据
vec_4=x2
%length(x)=length(x1)
matrix=zeros(4,4);
yx=zeros(1,4);
for j=1:4
    matrix(1,j)=eval(['sum(vec_',num2str(j),'.*(x.^(-1)))'])
    matrix(2,j)=eval(['sum(vec_',num2str(j),'.*(x1.^2))'])
    matrix(3,j)=eval(['sum(vec_',num2str(j),'.*1)'])
    matrix(4,j)=eval(['sum(vec_',num2str(j),'.*x2)'])
    yx(j)=eval(['sum(vec_',num2str(j),'*y)'])
end
    solve=matrix\yx';
  syms xv;
  syms w;
  syms sabcd;
  f=a*x^(-1)+b*w^2+c*1+d*s;
  out=0;
  in=double(in);
  in=[1 2 3 solve(1) solve(2) solve(3) solve(4)];
  format long;
  out=double(subs(f,[x w s a b c d],in));
1.3程序的分析说明
  在程序的开头，是输入x与y值，变量的个数与幂次由输入决定。之后程序会自动进行运算，给出所要求的每个变量的所对应的系数值。之后求得的拟合函数表现为符号变量的形式。
  程序的适用性较好，通过符号变量能直接输出需要求的拟合曲线。
  程序也存在可以改进的地方，比如可以将整个解法优化为一个函数，对输入的变量，直接进行处理。另外程序的循环算法的效率不高。代码较多。
第二章最小二乘拟合法的检验及应用
2.1 最小二乘法拟合的检验
在上文所给出的拟合程序自带检验部分，分别输入原值与随机的几组数据来进行验证。
图2.1.1  最小二乘法的原变量检验（4个点）
Fig.2.1.1 Lagrange interpolation nodes of interpolation（for 4）
我们加大原变量的拟合个数。共有8组数据，得到的拟合曲线如下。
图2.1.2最小二乘法的原变量检验（8个点）
Fig.2.1.2Lagrange interpolation nodes of interpolation(for 8)