MATLAB中简单的数据拟合方法与应用实例
仅供努力学习matlab的同学们参考参考,查阅了M多资料,总结了以下方法
按步骤做能够基本学会matlab曲线拟合的
1.1数据拟合方法
1.1.1多项式拟合
1.多项式拟合命令
polyfit(X,Y,N):多项式拟合，返回降幂排列的多项式系数。
Polyval(P,xi):计算多项式的值。
其中,X,Y是数据点的值；N是拟合的最高次幂；P是返回的多项式系数；xi是要求的横坐标
实例数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
9
7
6
3
-1
2
5
7
20
拟合命令如下：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
P=polyfit(x,y,3);
xi=0:.2:10;
yi=polyval(P,xi);
plot(xi,yi,x,y,'r*');
拟合曲线与原始数据如图1-1
图1-1
2图形窗口的多项式拟合
1）先画出数据点如图1-2
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y=[9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
plot(x,y,'r*');
图1-2
2）在图形窗口单击Tools—Basic Fitting,如图1-3勾选.
图1-3
图1-3右方分别是线性、二阶、三阶对数据进行多项式拟合。下面的柱状图显示残差，可以看出,三阶多项式的拟合效果是最好的。
1.1.2指定函数拟合
已知M组数据点和对应的函数形式
X
Y
编写M文件：
syms t
x=[0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];
y=[1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];
f=fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'});
cfun=fit(x,y,f)
xi=0:.1:20;
yi=cfun(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-');
图1-4
运行程序,在命令窗口可达到以下运行结果，图像如图1-4
Warning: Start point not provided, choosing random start point.
> In fit>handlewarn at 715
  In fit at 315
  In Untitled2 at 5
cfun =
    General model:
      cfun(t) = a*cos(k*t)*exp(w*t)
    Coefficients (with 95% confidence bounds):
      a =      0.9987  ( 0.9835, 1.014)
      k =      1.001  (0.9958, 1.006)
      w =    -0.2066  (-0.2131, -0.2002)
从结果可以看出,拟合的曲线为： 。拟合曲线给出了数据大致趋势，并给出了各参数的置信区间。
注意：命令窗口中的warning是由a,k,w这3个参数的初始值未给出导致的,如果给出的拟合结果不理想,可以多运行几次。
备注：
补充1.matlab中的cftool
一、    单一变量的曲线逼近
Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是 y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：
》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；
》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；
2、启动曲线拟合工具箱
》cftool
3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”
（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；
（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；
（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；
（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：
  * Custom Equations：用户自定义的函数类型
  * Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
  * Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)
  * Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
  * Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
  * Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~
  * Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c
  * Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型
  * Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）
  * Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)
  * Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)
选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：
——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；
——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
在本例中选Custom Equations，点击“New”按钮，选择“General Equations”标签，输入函数类型y=a*x*x + b*x，设置参数a、b的上下限，然后点击OK。
（5）类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results框中得到拟合结果，如下例：
general model:
f(x) = a*x*x+b*x
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 0.009194 (0.009019, 0.00937)
b = 1.78e-011 (fixed at bound)
Goodness of fit:
SSE: 6.146
R-square: 0.997
Adjusted R-square: 0.997
RMSE: 0.8263
同时，也会在工具箱窗口中显示拟合曲线。
这样，就完成一次曲线拟合啦，十分方便快捷。当然，如果你觉得拟合效果不好，还可以在“Fitting”窗口点击“New fit”按钮，按照步骤（4）~（5）进行一次新的拟合。
不过，需要注意的是，cftool 工具箱只能进行单个变量的曲线拟合，即待拟合的公式中，变量只能有一个。对于混合型的曲线，例如 y = a*x + b/x ，工具箱的拟合效果并不好。
补充2.MATLAB拟合、优化、统计等工具箱专有名词解释：
SSE(和方差、误差平方和)：The sum of squares due to error
MSE(均方差、方差)：Mean squared error
RMSE(均方根、标准差)：Root mean squared error
R-square(确定系数)：Coefficient of determination
matlab拟合数据Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination

下面我对以上几个名词进行详细的解释下，相信能给大家带来一定的帮助！！

一、SSE(和方差)
该统计参数计算的是拟合数据和原始数据对应点的误差的平方和，计算公式如下


SSE越接近于0，说明模型选择和拟合更好，数据预测也越成功。接下来的MSE和RMSE因为和SSE是同出一宗，所以效果一样

二、MSE(均方差)
该统计参数是预测数据和原始数据对应点误差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE没有太大的区别，计算公式如下


三、RMSE(均方根)
该统计参数，也叫回归系统的拟合标准差，是MSE的平方根，就算公式如下


在这之前，我们所有的误差参数都是基于预测值(y_hat)和原始值(y)之间的误差(即点对点)。从下面开始是所有的误差都是相对原始数据平均值(y_ba)而展开的(即点对全)!!!

四、R-square(确定系数)
在讲确定系数之前，我们需要介绍另外两个参数SSR和SST，因为确定系数就是由它们两个
决定的
(1)SSR：Sum of squares of the regression，即预测数据与原始数据均值之差的平方和，公式如下

(2)SST：Total sum of squares，即原始数据和均值之差的平方和，公式如下

细心的网友会发现，SST=SSE+SSR，呵呵只是一个有趣的问题。而我们的“确定系数”是定义为SSR和SST的比值，故


其实“确定系数”是通过数据的变化来表征一个拟合的好坏。由上面的表达式可以知道“确定系数”的正常取值范围为[0 1]，越接近1，表明方程的变量对y的解释能力越强，这个模型对数据拟合的也较好