摘要
分析和研究海底地形，绘制准确的海底地形图，对于航船路线设计、海底养殖、海底电缆铺设、锚地建设、海洋资源的深入开发和利用，均有着十分重要的意义。随着相干声纳系统技术的逐步完善，为海底深度测量和海底地形图的绘制提供了更为有效的工具。因此，在本文中我们首先建立相干声纳系统模型，利用多波束测量方法测量海底深度。此模型不仅原理简单，在实际中也有广泛应用，并且克服了单波束测量存在的缺点。然后，在模型Ⅱ和模型Ⅲ中，我们采用三次样条差值法对所测得的海底深度值进行拟合，并利用拟合所得数据绘出海底地形剖面图，海底地形立体图和等高线图。在这一过程中，我们利用Matlab这一软件，用三次样条插值函数对海洋深度值进行曲线拟合，用griddata函数对海底地形深度值进行曲面拟合，并用contour 函数绘制等高线图。从海底剖面图和立体图两个方面来了解海底地形的起伏变化，更全面地把握海底地形的信息。在文章的最后，我们主要从测量点密度的选取，及绘图比例尺的选取这两个方面，对绘制海底地形图提出了一些具体建议，使绘制的海底地形图在满足一定精度的同时，达到经济效益的最大化。
关键词：相干声纳系统 多波束 换能器 三次样条插值 曲面拟合 比例尺
一、问题的重申：
海洋测绘船利用声纳绘制海底的地形图。测绘船上的声纳向海底发射声脉冲，随后接收从海底反射的脉冲。发射的范围为与指向海底的铅垂线夹角从
2°—30°之间。船只以2米/秒的速度行进，声脉冲在海水中传播的速度约为1500米/秒。
试建立绘制海底地形图的数学模型，并对绘制海底地形图的方法提出具体建议。
二、模型的假设：
（一）假设该声纳系统为相干声纳系统，采用多波束测量方法。
（二）假设海底地势较为平坦。
三、符号定义：
----声纳发出的声波波长；                                   
----回波经过声纳换能器底声板与顶声板时的相位差；
----回波角；
---波速；
----声波传播时间；
----声波传播距离；
----测量点的深度，以海平面为深度零点；
h----声纳探头入水深度；
----第个测量点的横坐标；
----第个测量点的纵坐标。
四、模型的建立：
（一）模型Ⅰ：利用相干声纳系统[1]，建立多波束测量模型，探测海底的深度。同时为模型Ⅱ、Ⅲ中曲线曲面的拟合提供数据。
采用相干声纳系统的原因：相干声纳系统利用多声板接收回波，利用回波的振幅、时间和相位差来对海底各点准确定位。
模型Ⅰ的原理：海底测量相干声纳系统从左右两个换能器轮流发射。由于声波在海底发生漫反射，故总存在按原路径返回的波。回波被换能器接收，经过底声板与顶声板的时间不同，回波相位差被记录下来，这样我们就可以利用记录下来的相位差计算回波角，进而确定被测量点的水平位置和深度。
假设脉冲宽度很窄，换能器一海底（假设海底平坦）的关系如图1（a），波到达换能器的情况如图1(b)。
则有：
                        （1）                         
有（1）推得：       
                          （2）
从而测量的回波角： 
                        （3）
                                                      （4）
                            （5）
                        （6）
其中各参数的意义为：，相位差；，波长；，接收器声极间的距离；，发射点与测量点的距离；，测量点的深度；，测量点与航线间的距离。
：波速；：为传播时间。
这样，利用回波数据就可以确定参数，即可求得海底深度的值。
当我们向船体测向发射声波时，就得到了垂直于航线方向的一个剖面内的深度分布值。随着船的航行，发射一系列声波脉冲就可以得到一系列的测量剖面，它们构成一个测量覆盖区带，通过曲面拟合就可以得到这一覆盖区带的地形图。这些覆盖带的地形图组合在一起，就构成了一幅海底的地形图。
（二）模型Ⅱ：利用一组海深数据，采用三次样条插值法[2]绘制某部分海域的剖面图。
利用某一垂直于航线方向剖面上的测量点，我们采用三次样条插值来拟合剖面图。其方法是：
（ⅰ）给定数据表1：
数据表1
（ⅱ）三次样条函数在区间上的表达式为：
其中。为个待定系数。
（ⅲ）这个参数满足的方程式为：
        （7）
其中
（ⅳ）根据边界条件可导出两个方程
  和 
其中
与式（7）合在一起，构成确定为未知元的线性方程组：
          （8）
方程组（8）的系数矩阵是非奇异的，因而此方程组有唯一解。即三次样条插值函数是存在且唯一的。
（三）模型Ⅲ：分析，整理测量海底深度的数据，利用griddata曲面拟合方法[3]模拟海底地形图（在此选取部分海域），并利用等高线绘制海底地形图。
griddata功能是用于做插值运算，与其他插值函数不同的就是可以做空间差值
原理是利用Delaunay三角形进行空间重构，在三角形的表面再作插值运算。
关于Delaunay三角形的概念：Voronoi图，又叫泰森多边形或Dirichlet图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边行组成。N个在平面上有区别的点，按照最临近原则划分平面；每个点与它的最近临区域相关连。Delaunay三角形是由与相邻Voronoi多边形共享一条边的相关点连接而成的三角形。Delaunay三角形的外接圆圆心是与三角形相关的Voronoi多边形的一个顶点。matlab等高线间隔Voronoi三角形是Delaunay图的偶图。如图2
实线为Delaunay三角形，虚线为Voronoi图
图2
五、模型求解
（一）因为声波的波长，相位差，时间，换能器两声板间距离均为可测量，当我们确定一组参数便可求得的值，即：
由于波速取为1500m/s,频率取为455kHz,根据公式可计算得波长约为0.003m,而值约为波长的一半，在此我们取为0.0018m。当代入一组的值时，便可得到相应的值。（程序见附录中high.m）如表2：
表2
（rad）
3．2650
3.4170
3.5430
3.6410
3.7130
(s)
0.1250
0.0980
0.1270
0.1210
0.0940
(m)
-81.9939
-67.4195
-90.3169
-88.4468
-70.2357
（二）对模型Ⅱ求解，由于目前真实海底深度的数据我们不能实地测量，因此，我们利用某海域的平均深度及深度的最大最小值模拟一组数据点进行曲线拟合，得到该海域的海底剖面图，即与航线垂直的声波发射平面（程序见附录中 poumiantu1.m）。如图3
图3
从此剖面图中看出,海底地形起伏不平。因此，船在较浅的水域中航行时必须借助于海底地形图，从而知道行船应避免进入那些区域,防止触礁等事故发生。
（三）对模型Ⅲ求解，以船的出发点为原点，航线方向为x轴正向，垂直航线方向为y轴，垂直海平面方向为z轴,指向海底方向为负向,建立空间直角坐标系，得到海底地形立体图及等高线图(程序见附录中qumiannihe3D.m、denggaoxian.m)。如图4、5。
图4
图5
下面对图进行一点说明：在选取坐标的单位长度时，考虑到船速为2米每秒，及发波时间间隔（我们取定为200毫秒），所以，轴方向测量点的间隔取为0.4米；对于轴方向测量点的间隔，我们取为1.94米(当然,可根据具体情况设定)。
六、分析模型及实际问题中对测量的影响因素
在模型Ⅰ的建立方面，我们考虑的是比较理想的情况。但这些假设是具有一定合理性的。
（一） 声波速度
根据题目，模型中，我们视声速为定值。但声速c 在实际测量中并非常数, 它与海水的温度t、深度d 以及海水盐度s 等有关。深度表达式为：
但在我们的模型中，海的深度不大，这些因素对声速影响很小，故从发射到接收这一过程中声速改变很小，在此我们视为定值。声速计算公式为：
（9）其中，。根据世界大洋表层年平均温度，世界大洋平均盐度约为（单位为‰）。我们取盐度为，深度为（以黄海为参考，其平均深度为，最深为），温度为（温度随深度增加有所降低，因此取值稍低于表层温度），代入（9）式，经计算得，与我们所取的声速的绝对误差为，相对误差。因此，我们所取的声速值是合理的。
（二）声波发射角度。
我们分析，当声波垂直射到海地表面时，在船体正下方，由测得的数据拟合出的图象解析度较低。因此，采用从起发射。同时，最大发射角定为的原因在于，由于回波信号的强度是随着距离的增大而迅速减小的。当发射角度越大，边缘波束所传播的距离越大，回波信号所受影响就会很大。为使测量尽量准确，最大角度取为较合适。此时，在某个剖面（垂直航线方向）上所能测得水平距离已经达到深度的倍。
（三）声波路径。
由于海底表面是凹凸不平的，声波射到海底发生的是漫反射，反射波的方向是指向四面八方的。同时，声纳发射的超声波具有很多特性，如：频率高、波长短，所以和光波一样，可以集中向一个方向传播；并且，超声波穿透本领很大，特别是在液体、固体中传播时，能量衰减很小，在不透明的固体中能穿透几十米的厚度。因此，确实存在一条声波是沿原路径返回。
（四）其它因素。
声吸收——海水介质的物理特性如剪切粘滞性和容积粘滞性，引起声信号的能量损失。这种与频率有关的吸收损失，限制了测深的作用距离；海洋噪音——海水中充满各种干扰声源，这些噪声可能淹没弱小的有用声信号。在此，对如何消除这些噪音，我们提出一些建议。小波分析是一种新颖而实用的信号分析方法，它将信号分解为原小波函数不同位移和膨胀的小波。与傅立叶分析相比，它能更好地描述信号的局部特征。其基本原理如下：有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。对信号进行小波分解时，含噪声部分主要包含在高频小波系数中，因而，可以应用门限阈值等形式对小波进行处理，然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。但在本模型中，由于声波发射角度
在2度到30度之间，比较小，且声速较快，发射一次传播时间较短，这些因素基本上可以忽略。
七、模型优缺点
首先，我们模型有以下优点：
模型Ⅰ中，采用多波束测量，较单波束相比，其优点在于：首先，能对海底进行全覆盖无遗漏测量；其次，工作效率高；再次，数据采集点密集；最后，一般兼有测深和测扫声纳两种功能。