【Math】复数表⽰和傅⾥叶变换
⽬录
1. 复数形态
2. 傅⾥叶变换
3. 傅⾥叶变换的意义
⼀、复数形态
1.1 直⾓坐表⽰
⾼中所学：复数可以在复平⾯（complex plane）上表⽰，复平⾯横纵坐标分别为实部和虚部，下图就是复数 4+3i 在复平⾯上的表⽰。
1.2 极坐标表⽰
1.3 指数表⽰
著名的欧拉公式：
当 r=1，θ=π时，可以得到数学届代表性公式：
其实欧拉公式可以从波形取直观理解：
可以看出，当俯视复数波时，观察到的投影即是⼀个实数波，即cosθ；当从左侧测视时，得到的投影即是虚部：sinθ。
当然上⾯的式⼦还有⼀个更为普遍的公式：
其中，A为振幅，ω为⾓速度，f为频率，ϕ为初试相位，这部分系数和⾼中课本三⾓函数所述相同。
另外：欧拉公式的另⼀种解释-使⽤泰勒公式：
把x替换成it，就可以得出
⼆、傅⾥叶变换公式
  傅⾥叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着⼴泛的应⽤，这不由得让⼈肃然起敬。⼀打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出⼀个"傅⾥叶级数"或"傅⾥叶变换"。如今的计算机深度学习也会⽤到这些，如Gabor 滤波器等。本⽂作简单介绍：
傅⾥叶他⽼⼈家⽣于1768年，死于1830年。故傅⾥叶变化技术也算是⽼树开新花。
2.1 傅⾥叶级数的公式
傅里叶变换公式性质
（推导见下⽂的附件⼀，感兴趣的可以浏览）
2.2 傅⾥叶指数形式
（推导见下⽂的附件⼆，感兴趣的可以浏览）
2.3 傅⾥叶变换和傅⾥叶逆变化
（推导见下⽂的附件三，感兴趣的可以浏览）
傅⾥叶变换：
傅⾥叶逆变换:
F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像
2.4 离散傅⾥叶变换和傅⾥叶逆变化
（推导见下⽂的附件四，感兴趣的可以浏览）
离散傅⾥叶变换：
离散傅⾥叶逆变化
三、傅⾥叶变换的意义
数字信号处理技术是将声⾳、图⽚或者是视频进⾏信息的模拟再将其转化为数字信息，该技术也是数字时代的标志性技术，⽬前已经在仪器仪表、通信、计算机以及图像图形处理等领域得到了⼴泛应⽤。⽽数字信号领地最重要的基础就是傅⾥叶变换，它可分析信号的成分，也可⽤这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，⽐如正弦波、⽅波、锯齿波等，傅⾥叶变换⽤正弦波作为信号的成分。
如下图所⽰：傅⽴叶变换（的三⾓函数形式）的基本原理是：多个正余弦波叠加（蓝⾊）可以⽤来近似任何⼀个原始的周期函数（红⾊）。（如同利⽤对不同琴键不同⼒度，不同时间点的敲击，可以组合出任何⼀⾸乐曲，也可以看作余弦波叠加成的周期函数）
从时域空间和频域空间看，时域是永远随着时间的变化⽽变化的，⽽频域就是装着装着正余弦波的空间：
要完整表达曲线，不仅需要频率空间的振幅情况，还需要初始的相位⼤⼩，这样就能通过⼀些点位来确定单个波形的情况，从⽽拟合出整个时空图像的任意波形。
总结来说：傅⽴叶变换就是多个正余弦波叠加可以⽤来近似任何⼀个原始的周期函数，它实质是是频域函数和时域函数的转换。⽽其中时域就是永远随着时间的变化⽽变化的，⽽频域就是装着装着正余弦波的空间，代表着每⼀条正余弦波的幅值，⽽表⽰正余弦波除了幅值是不够的，就还有相位谱。
附件⼀：
1、设想可以把⼀个周期函数f(t)通过最简单的⼀系列正弦函数来表⽰
因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅⾥叶写出下式：
2、通过变形后⽤三⾓级数（含sin和cos）来表⽰
这个n是从1到⽆穷⼤，也就是是⼀个⽆穷级数，对上式⼦做变形（来源于⾼中的三⾓变换）：
式中，蓝⾊项即为我们需要合并的常数项，
所以傅⾥叶级数公式得出：
3、通过积分，把各未知系数⽤f(t)的积分式来表达；
接下来求解A0：
求解an：
同理得出bn：
附件⼆：
由欧拉公式易知：
代⼊傅⾥叶级数求得：
由前⾯⼏个表达式得到：
同理可得：
将两式都代⼊傅⾥叶级数得到其指数表⽰：
附件三：
傅⾥叶变换：
傅⾥叶逆变换：
附件四
由附件三知道：
其中：
因此我们可以简化公式为
其中：
令N= 2Π，得到如下两个式⼦：离散傅⾥叶变换：
离散傅⾥叶逆变化
附件五