模拟信号带宽与傅里叶变换
模拟信号的带宽就是一个模拟信号的"频谱宽度"，就是最高的频率分量-最低的频率分量，我也觉得这个定义很抽象，所以本文试图形象化的解释一下"模拟信号的带宽"，因为通信工程中涉及最多的就是"声音信号"，所以我们以声音信号为例子解释一下"模拟信号带宽"的问题。
很好的理解模拟信号带宽的一个预备知识是"傅里叶变换"，我认为傅里叶变换是现代科学里面非常重要的一个基础，我也理解的不是很深刻。学过高等数学的人都知道"傅里叶级数"，傅里叶级数就是傅里叶变换的基本数学形式。下面通过"声音"简单介绍一下为什么傅里叶变换在通信领域如此的重要，傅里叶变换告诉我们，"任何形式的周期函数都可以转换成正弦函数的叠加"，我们应该理解这个道理："波的图像本质上就是一个函数"，我们学习数学函数的目的就是为了学习处理各种"波动"，因此本文"波"和"函数"在本质上基本是等同的。通信领域传输的有用波形都是周期波形(后面会简单介绍为什么通信领域涉及的都是周期函数)，傅里叶级数提供了一种理论，这种理论把一个复杂的周期函数分解成简单的正弦函数，所以在通信领域提供了一种"复杂问题简单化"的重要手段。其实我们解决问题的唯一手段也就是"简单化、平民化"，讲天书的教授属于外星人。
我们知道通信工程中，最先解决的实质问题就是传递"声音"，电话通信网应该是世界最早的也是最大的通信网络，一般来说通信工程涉及的内容都是从电话网开始的。所以，我们先大致了解一下"声音的特点"。声音本质上是一个"机械波"，它是依靠物体振动发声，在某种介质中传播，因此声音无法在真空中传递(因为真空是一种无介质状态)。这个规律就告诉我们，我们可以把声音还原成波形来研究，那么如果用波的观点来看声音，会带来什么变化呢?
余弦函数的傅里叶变换公式
1、如果是一个固定频率的"正弦波"，那么这种声音就叫做"纯音"，在音乐里面很好理解，每个音符就是一个纯音，数学表达式："每个音符=固定频率的一个正弦波"。这里面有一个重要的概念，纯音的幅度并不决定音调，对声音的响度有更大的影响。简单化说明，如果我们把收音机的音量无论调大或者是调小(在能听见的范围内)，音乐总还是这个音乐，不会变成另外一个音乐。
2、由纯音叠加出来的"波形"，就叫做"复合音"，自然界当然大部分都是"复合音"了，很明显"复合音也是周期波形"(高等数学告诉我们，周期函数的加减乘除还是周期函数)。一首乐曲就是由"纯音叠加出来的复杂的周期波形"。
3、那么世界上就没有"非周期波形"的声音了吗?当然有了。"非周期波形"的声音就是"噪声"。在物理学上噪声就是无规律振动导致的非周期波形，当然在日常生活中就没这么严格了，一个音乐如果你烦也可以称之为噪声。但是无规律的振动导致的非周期波形一定是让人不舒服的声音，因此"非周期波形是噪声"在日常生活中也是对的。
我是一个五音不全的人，但是当我知道"音乐"这个东西在数学里面居然可以演绎成"波形"的叠加之后，我更惊叹造物主的神奇。我能记得住简谱，但是不认识五线谱，虽然我的发音装置属于有缺陷的那类人，不过这不能妨碍我对音乐的热爱，这个就是科学带给我的乐趣所在，智慧让我更敬畏神圣，如此复杂美妙的东西在他那里竟然会变得如此的简单，当我们在"聆听和感受"音乐带给我们的享受的同时，无处不在的能体会到大自然的神奇。尊重生命、敬畏神圣、珍惜自然的态度便能带给我们无穷的力量。
通过对上面声音特点的分析，我们不难得出这样的结论：通信的本质就是传递"复合音"，也就是要传递一个"复杂的周期波形"，同时"过滤掉噪声"。我们换个角度来看问题，如果发生源发出的就是一个"复合音"，不带噪声。那么通信的本质就变成这样了："传递周期性的复合音，避免通信途中引入噪声"。本文只涉及第一个问题："如何传递周期性的复合音"?
花点时间，复习一下余玄函数。cos(x)=sin(x+π/2)，余弦函数和正弦函数是一样的波形，仅仅是相位差了二分之一π，他们的周期都是2π。从波形上看，正弦函数和余弦函数正好是波峰对谷底、谷底对波峰的两个波，换句话说正弦函数可以非常容易的表示余玄函数。我们再复习一下正弦函数，决定一个正弦函数波形的参数有什么呢?(注：教科书上定义正弦函数就是f(x)=sin(x)，为了表述简单，我们不用这么严格的概念，我们把一个正弦波形都叫正弦函数了)。
任何形式的正弦波都可以用下面的函数来表示：f(x)=A*sin(nx+m)。从这个函数中我们可以得到，影响一个正弦函数波形的几个因素如下：
1、周期：(n这个参数决定周期)，直观来看，周期决定着波形的"密度"，标示周期常用的另外一个名称是"频率"，频率=周期的倒数。周期越短、频率越高、波形越密。
2、振幅：(A这个参数决定振幅)，直观来看，振幅决定着波形的"强度"。
3、位移：(m这个参数决定位移)，直观来看，位移决定着波的"起始位置"。如果两个波的周期和振幅一致，平移其中一个波(平移m这么长)，那么这两个波就重叠了。
通过对上面的参数分析，如果不考虑波的移动速度和开始时间，则周期、振幅是两个衡量"波形"的重要指标了。再回到"声音的特点"，音符的频率是决定音符的唯一标准(我们并不是说谁的嗓门大，谁就能唱出更高音，而是谁的音域更宽才能唱出更高音)，所以我就得到了一个重要的结论，我们可以用"频率"唯一标示一个"纯音"，也就是说在声音领域，我们用"频率"一个参数就完全标识了一个音符，然后用这些音符就可以构成一个美妙的音乐。另外一个直观的科学常识是："人耳能听见的声音频率在20Hz~20KHz之间，低于20Hz的称为次声波，高于20KHz的称为超声波"，所以对声音的描述"频率"的重要度远远高于"幅度"，同样的道理在研究波、通信等领域里面，频率是非常重要的一个"自变量"。我们从波的图像上也很容易形象的理解这个问题，幅度仅仅是说在纵坐标上，两个波哪个振动的更猛烈，而频率决定振动的宽度。所以我们得到一个重要的结论："研究正弦波，本质就是研究其频率"。
好了，理解了"声音就是由正弦波构成的复杂周期波形"这个道理之后，我们再回头看"傅里叶变换"，看看大师带给我们美妙的生活。傅里叶，1768年生于法国，1807年提出"任何周期信号都可用正弦函数级数表示"，这就是傅里叶伟大而平凡的发现。(看看傅里叶出生的年代确实令我汗颜，200年以后居然我还没有完全理解前人的思想，而我们居然还自诩是高度的文明，聪明的民族，科技飞速的发展)
下面是傅里叶级数的展开公式：
其中，函数f(x)是一个"周期为2π的周期函数"，等式的右边明显就是一个"正弦函数"和一个"余玄函数"，而且这两个函数的周期都是一样的。傅里叶级数本质告诉我们，任何一个复杂的周期函数都可以分解成k个正弦函数和余玄函数的和。我们先不看a和b了，因为前面说过对正弦波的研究，频率比振幅重要，这里唯一提醒大家的是，a、b有可能为0，就意味着这个频率的波可能没有。
我们只来看看k这个数字。我们发现，分解开来的正弦函数、余玄函数的周期都是和级数相关的。比如当k=2的时候，f(x)就展开成如下等式(先不考虑a、b参数)：
(cos1x+sin1x)+(cos2x+sin2x)
这个等式就是分析复杂周期波的重要精髓，我们可以发现，一个复杂的周期波原来通过傅里叶级数展开，变成一个有规律的数列，每个波的频率分别是：2π、2π/2、2π/3….我们再引申一下，对于"周期为T的周期函数"，傅里叶展开之后的每个波的频率是多少呢?当然是T、T/2、T/3。
我们就得到一个很有意思的规律，傅里叶展开之后第一个"波"和"原始波"的频率相同，所以在物理学上第一个波也叫做"基波"，后面的序列也叫做"谐波"，这样我们就把一个复杂波的运算化解为了一个"频率运算"，因此这个过程很多地方叫做"频谱分析"。非常明显，基波是周期最长的分量同时也是频率最低的分量。这个时候可能有人会好奇，傅里叶级数k到底取多少算完呢?这个地方涉及一个定理，狄里赫利收敛定理，他给出了傅里叶级数收敛的判断条件，满足狄里赫利条件的函数，傅里叶级数都可以收敛。
好了，我们回到文章的开头。什么是模拟信号的带宽呢?通过傅里叶级数展开一个周期性的模拟信号，最高的频率减去最低频率就是这个模拟信号的带宽！