信息光学习题答案
第一章  线性系统分析
1.1  简要说明以下系统是否有线性和平移不变性.
（1）            （2）
（3）              （4）
（5）
解：（1）线性、平移不变；  （2）线性、平移不变；  （3）非线性、平移不变；
  （4）线性、平移不变；  （5）线性、非平移不变。
1.2  证明
证明：左边＝
   
当n为奇数时，右边＝0，当n为偶数时，右边＝
所以当n为偶数时，左右两边相等。
1.3  证明
证明：根据复合函数形式的δ函数公式
                   
式中是h(x)=0的根，表示在处的导数。于是
                   
1.4  计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。
解：设卷积为g(x)。当-1≤x≤0时，如图题1.1(a)所示，
               
                                图题1.1
当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示，
               
即             
1.5  计算下列一维卷积。
（1）            （2）
（3）
解：（1）
（2）设卷积为g(x)，当x≤0时，如图题1.2(a)所示，
                                     
      当0 < x时，如图题1.2(b)所示                                     
                                图题1.2
即             
    （3）
1.6  已知的傅立叶变换为，试求
（1）                    （2）
解：设  即   
由坐标缩放性质  得
（1）
（2）
1.7  计算积分.（1）                  （2）
解：应用广义巴塞伐定理可得
（1）
（2）
                     
1.8  应用卷积定理求的傅里叶变换.
解：
当时，如图题1.3(a)所示，
                                   
当时，如图题1.3(b)所示，
                                   
当时，如图题1.3(c)所示，
                               
2G(ξ)的图形如图题1.3(d)所示，由图可知
                               
                                图题1.3
1.9  设，，求
               
    解：
                     
1.10 设线性平移不变系统的原点响应为，试计算系统对阶跃函数的响应.
解：由阶跃函数定义
                          得
线性平移不变系统的原点响应为
                 
所以系统对解阶跃函数的响应为
           
1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为和.试计算各自对输入函数的响应和.
解：
1.12 已知一平面波的复振幅表达式为
                 
试计算其波长λ以及沿方向的空间频率。
    解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
           
由题可知，
又因为      所以
波长为       
沿方向的空间频率为
         
    1.13 单平面波的复振幅表达式为
                     
求此波在传播方向的空间频率以及在方向的空间频率.
    解：设单平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
               
由题可知，
又因为      所以
波长为       
沿方向的空间频率为
         
第三章    光学成像系统的传递函数
3.1  参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子
                       
试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子
                               
相对于它在原点之值正好改变π弧度？
    （2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？
    （3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子
                     
解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是
                             
（2）根据
         
相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点
式中，而
                              （1）
在点扩散函数的第一个零点处，此时应有，即
                                                            (2)
傅里叶变换公式证明将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点，于是得
                                                          (3)
  （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子变化不大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，则，也即