高中数学教案三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值
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三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：
1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点
（一）三角函数坐标定义的推论
1、三角函数值的符号
2、特殊角的三角函数值
3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
（1）课本中的公式：
（2）同角公式“全家福”
①平方关系： .
②商数关系： .
③倒数关系：
4、诱导公式：
（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
①k·360°＋（k∈Z），－，180°± ，360°－（共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；
②90°±，270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申
；；
.
（二）两角和与差的三角函数
1、两角和的三角函数两角差的三角函数
令＝
三角函数诱导公式教案2、倍角公式
；
＝＝；
3、倍角公式的推论
推论1（降幂公式）：
；； .
推论2（万能公式）：
； .
推论3（半角公式）：
；； .
其中根号的符号由所在的象限决定.
三、经典例题
例1、填空：
（1）已知的取值范围为
（2）已知的取值范围为
分析：（1）从已知条件分析与转化入手
①
又②
∴由①、②得，
∴应填
（2）首先致力于左右两边的靠拢：
左边＝①右边＝②
∴由左边＝右边得
，
∴应填
点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得
，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.
例2.化简或求值：
（1）（2）
分析：
（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
（2）对于含有清一的两切值的三角式，除用“切化弦”外，运用有关正切（或余切）的公式，常常会收到良好的效果.
解：（1）原式＝
（2）解法一（利用关于正切的倍角公式）：
注意到∴
∴原式＝＝＝＝＝cot20°
解法二（利用掌握的典型关系式）：
注意到（证明从略）
∴原式＝＝
＝＝cot20°
点评：根据所用公式的特证，解法一从后向前变，解法二则从前向后推，这种灵活性值得借鉴.此外，在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差，从角的这一关系式入手突破，是（1）求解成功的关键.
例3.（1）已知，
求的值；
（2）已知
分析：对于（1）注意到已知式的复杂性，考虑从化简与认识“已知”切入，以明确未知目标的变形方向；
对于（2），注意到目标与已知的不甚亲密，考虑从认知和变形目标切入，以准确已知的延伸方向.
解：（1）由已知得
∴
注意到
∴由已知得（至此，目标的变形方向明确）
于是有原式＝
＝
（2）由已知得原式＝＝＝①
（至此寻求的目标明确）又∵
∴
∴②于是②代入①得，原式＝ .
点评：（1）从化简认知“已知”切入，（2）从化简认识“目标”切入，具体情况具体分析，很好地体现了解题的灵活性.
例4. （1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
解：（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式：（和差与倍半的综合关系）∴＝①