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两角和差正余弦公式的证明
两角和差的正余弦公式是三角学屮很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。
由角°,声的三角函数值表示°?"的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言Z ,要推导两角和差的止余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将gaS或与％〃的三角函数联系起來。
根据诱导公式，山角°的三角函数可以得到 Y的三角函数。因此，由和角公式容易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。乂因为
,即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，町以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要解决这纽公式屮的一个，其余的公式将很容易得到。
（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式
注意到单位圆比较容易表示戸和，而且角的终边与单位鬪的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆來构造联系8＜在*妙与〃的三角函数值的等式。
1.和角余弦公式
（方法1）如图所示，在直角坐标系町中作单位圆O,并作角"和使角a的始边为血，交
11°于点A,终边交于点B；角用始边为＜?,终边交
11°于点C：角—庐始边为血，终边交13°于点。从而点A,B,C和D的坐标分别为
, , , °
由两点间距离公式得
▲C2 =8(^S-功2十*(^5 =2-2co<="" p="">
9
注意到JCM因此*?79 = 口?0口?〃_鼻血—/>。
注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。注意，公式中的0和"为任意角。
2.弟用余弦公式
仍然在单位圆的框架下，用平而内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。这就是
(方法2)如图所示，在坐标系勿中作单位圆°,并作角a和A使角a和P 的始边均为 g交口°于点c,角a终边交口°于点A,角戸终边交口°于点。从而点A, B 的朋标为Jfe-A—/9。
由两点间距离公式得
注记：方法2中用到了余弦定理，它依赖于 厶°?是三角形的内角。因此，还需
要补充讨论角°和〃的终边共线，以及厶O ■大于囂的情形。容易验证，公式在以上 情形屮依然成立。
在上边的证明中，用余弦定理计算"的过程也可以用勾股定理来进行。
也可以用向量法来证明。
则 (ZA (cos a ? sin a). ()fi (cos sin /?). 由向械数址积的定义.有
()A ? ofi=\()A\ ? \ofi\ cos(a —z ?) =cos(a —z ?>. 由向秋数笊积的坐
标表示.冇
()A ? T)ti—(ws a ? sin a) ? (cos sin ；i)
—
cos acos p+ sin asin
cos(a /?) 一 cos acos 沪 sin asin t l
=必 +OS 3 -2QA?ciHCa-/9
山余弦定理得
从而有
= coiacM^-nam/7
（-）在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位閲的框架下推导和差角的余弦公式，还町以在三角形中构造和角或差角來证
明和差角的正弦公式。
1.和角正弦公式（一）
ZO?=a NOU=/>,则。从而有
注意到ID+/9=ftflKEac/7n(<e+x9< p="">
注记：在方法3中，用“和与底角a,卫相关的三角函数，从两个角度来表示
（方法3）如图所示，妙为的"边上的高，C为"边上的高。设
从而有:
整理可得:
边上高
妙，从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是棊于钝角三角形 的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。
利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的
（方法4）如图所示，盹为3^的士边上的高，B 为如边上的高。
zca=a WIN ■尼 则 ZDO=a+/r
AE_JD
注意到Agmu,则有＜3一加,即。
架与方法3,4所用的图形框架是相同的。
（方法5）如图所示，6为MW 的"边上的高。设
利用止弦宦理和射影宦理
将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框
A
D O
上dt
■庐，则有Z40=?-Ga+/O90由正弦定理可得
JC SC AB d
a*j9 n<="" aa(s+="" p="">
其中d为se的外接圆直径。
、11 =J IC CBML+BC CBB0得rfflB(<="">
从而冇
2.和角正弦公式（二）
方法3,4和5利用的图形框架是将角?,戸放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为
三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6?11）。
（方法6）如图所示，作血丄于D,交外接圆于E,连M和＜加。设设3C的外接圆肓径为d,则侑,
zt^x=a NC血r=/j 则zarz=a.ZK4C=a+X7
所以9C=BD^QJ
注意到>c=rf"(.从而=■■?
(方法7)如图所示，砂为3C的&边上的高，
^ir=—c iK=h^fl JC=Jhnc^ ^*=^X+>E=*(m<e+tmi^)< p="">
， , ,
三角函数诱导公式推导
M= =*e?a*?M9m<e< p="">
o
乂JED =?C^g询
从而QBa+*B/9cwa=sccJU(a+J9
整理可得a^s+/9=ahacai^r+cKaBB/I
（方法8）如图所示，作妙丄OC于D,过D作M丄皿于F, QG丄应于G。
设厶OC=a BO"则厶设< p="">
XD-TKB.fi GD-rta^fl <0= ADcnKa=rflB^*cnia
, , 9
CE =HF=<2Dn.a=rcoi/7K a
o
所以jU=>G4-^E= 7^ift^cnB<="" p="">
注意到宓则冇
注记：我们用两种不同的方法计算得到了和角的正弦公式。如果我们卅两种方法來计算皿，则可以得到和角的余弦公式。由上图可得
从而可得=
方法6,7和8都是用角 6 应的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段，从
而构造出我们所希望的等式关系。
（方法9）如图所示,设6为3C的少边上的髙。设ZC?=a Zd" JC”，>C=a?从而有