多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真
阎;李擎;崔家瑞;郭荣庆;颜贻宏
【摘 要】深入研究多重反馈二阶有源低通滤波器典型电路,提出一种参数优化设计的新方法.设计多重反馈二阶巴特沃斯有源低通滤波器,并用Multisim 13电路仿真软件对其进行仿真分析.仿真结果表明,采用该优化设计方法设计的有源滤波器幅频特性良好、系统稳定可靠、易实现.另外,不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的,实际应用中可合理选择各元器件精度,在保证质量的前提下降低成本.
【期刊名称】《现代电子技术》
【年(卷),期】2018(041)014
【总页数】5页(P14-18)
【关键词】多重反馈;低通有源滤波器;巴特沃斯;优化设计;电路仿真;仿真分析
【作 者】阎;李擎;崔家瑞;郭荣庆;颜贻宏
【作者单位】北京科技大学 自动化学院,北京 100083;北京科技大学 自动化学院,北京 100083;北京科技大学 自动化学院,北京 100083;东湖科技(北京)有限公司,北京 100096;东湖科技(北京)有限公司,北京 100096
【正文语种】中 文
【中图分类】TN713+.8-34
0 引 言
滤波器是一种从被噪声畸变或污染了的信号中提取有用原始信号的电路[1-2]。由运算放大器和电阻、电容构成的有源滤波器具有输入阻抗高、输出阻抗低、可提供一定增益、截止频率可调等特点，在通信、信号处理、仪器仪表和自动控制等领域有着广泛的应用[1，3]。滤波器的设计任务是根据给定的截止频率、通带增益、品质因数等性能指标选定电路拓扑、滤波特性并确定元器件参数[4]。如何快速有效设计出性能优良或元器件参数易选的通用有源滤波电路，是电路设计者感兴趣的课题，也是制约有源滤波器的瓶颈。因此，开展有源滤波器的优化设计具有十分重要的理论意义和现实价值。
有源滤波器简单有效的设计方法是查表法[1-3]，但表格的覆盖范围有限，不能满足普遍情况的需要，没有给出必要的理论根据，设计者不明白其取值的根据。常见的有源滤波器电路拓扑有压控电压源型（VCVS）和无限增益多路反馈型（MFB）两种。文献中对VCVS滤波器的优化设计进行了大量研究，但有关MFB滤波器优化设计的文献较少。文献[5]对两种拓扑低通滤波器的传递函数进行推导和分析，利用德州仪器公司有源滤波器设计软件FilterPro辅助完成设计。文献[6]简单给出了一阶和二阶MFB低通滤波器的传递函数及电路参数计算方法，但未给出必要的理论根据和具体的计算通式。文献[7]对MFB低通滤波电路的传递函数进行了理论推导，利用PSpice软件仿真确定元件参数的范围，然后通过实验细化参数，直至满足设计要求指标。
有源低通滤波器是滤波器中应用最为广泛的一种。本文从典型的二阶低通滤波电路传递函数分析着手，深入研究了多重反馈低通滤波器参数优化设计问题，给出了优化设计通式，在保证良好的幅频特性基础上，首先根据滤波器的性能指标及经验公式确定电路中电容值，然后精确匹配电阻值。详细设计了多重反馈单位增益二阶巴特沃斯有源低通滤波器，并用Multisim 13软件对其进行了频率特性分析和参数扫描分析。仿真结果表明，采用该优化设计方法设计出的滤波器交流特性符合理论设计，具有幅频特性良好、系统稳定可靠等优点。不
同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际应用中合理选择各元器件的精度，在保证质量的前提下可降低成本。
1 多重反馈二阶有源低通滤波器分析
多重反馈二阶有源低通滤波器电路如图1所示。信号由运放的反向端输入，输出端通过R3和C3构成两个反馈支路，反馈强弱与信号频率有关。由于理想运算放大器的增益为无穷大，因此称为无限增益多路反馈滤波器。在该滤波器中R1和C1构成低通级，R2和C2构成积分环节，这两级电路同时表现为低通特性。
图1 多重反馈二阶低通滤波器电路Fig.1 Circuit of two-order low-pass filter with multiple feedbacks
根据理想运算放大器两个输入端的电位近似相等、两个输入端可视为等效开路，即运放的“虚短”“虚断”特性有：
由基尔霍夫电流定律，并结合欧姆定律则有：
联立求解式（1）～式（3）可得该多重反馈二阶低通滤波器的传递函数为：
由以上分析可见多重反馈低通滤波电路具有倒相作用。
2 多重反馈二阶低通滤波器优化设计
2.1 优化设计通式
二阶低通滤波器归一化传递函数可表示为：
令s=s ωc，去归一化二阶低通滤波器的传递函数通式为：
式中：Hup为滤波器的通带增益；ωc为滤波器的截止频率；滤波器的品质因数为二项式的系数，当α，β优化为不同的值时，便可设计出不同的滤波器类型。对照式（4）和式（6）可得：
这里不妨令R3=AR1，C2=mC1，那么，有：
multisim元件对照表式（9）为R3的一元二次方程，R3一定有实根，则必然有：
求解式（9）可得：
将R3代入式（7）可求得：
至此，只要选定电容C1和m的值就可以根据滤波器的性能指标要求设计任意特性的多重反馈型二阶低通滤波器。
2.2 优化设计步骤
一般来说，能够购买到的电容器的容量值只是E6系列或E12系列中所具有的值，特殊容量值的电容器需要特殊订货，其价格高且交货期长，而且厂家往往不愿意少量制作。而对于电阻器来说，可以购买到E96系列或E24系列的电阻值，价格低廉、误差小、温度特性稳定[2]。因此，优化设计首先选定电容器的值，然后根据滤波器的性能指标精确匹配电阻值，优化设计可按下列步骤进行。
1）选择滤波函数。根据待设计滤波器的性能指标选择滤波函数并查表[4]求得其归一化二项式系数α，β。
2）确定电容C1的值。根据截止频率fc依靠经验确定电容的值[8]，ωc=2πfc，C1=C具体见表1。
表1 截止频率与电容取值Table 1 Values of cut-off frequency and capacitance截止频率fc≤100 Hz 100～1000 Hz 1～10 kHz 10～100 kHz≥100 kHz电容C 1.0～0.1 µF 0.1～0.01 µF 0.01～0.001 µF 1000～100 pF 100～10 pF
3）求取A。根据通带增益Hup，确定电阻R3，R1的比值
4）选取m并求取电容C2的值。由式（10）合理选取电容C2与C1的比值m，C2=mC1，显然时计算最简便。
5）确定R1，R2，R3的值。由式（11）、式（12）求取电阻R3，R2并取标称值，R1=R3A。
6）确定电阻R4的值。匹配电阻R4=R2+R1∥R3。
7）选择集成运算放大器。要合理地选择集成运算放大器。为保证所设计的滤波器能够稳定的工作，一般要求所选集成运放在截止频率附近的开环电压放大倍数Av满足Av≥50 C1C2，一般集成运放的开环电压放大倍数都在105以上，这个条件很容易满足。
3 多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计
理想低通滤波器能够让从零频（即直流）到截止频率ωc之间的所有信号都没有任何损失和通过，而让高于截止频率ωc的所有信号完全阻塞。具有理想特性的滤波器是很难实现的，只能用实际特性去逼近理想特性[1-2]。常用的滤波器频率响应类型[2]有巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebychev）和贝塞尔（Bessel）3种。巴特沃斯低通滤波器由于其通频带内具有最大平坦幅度响应，与其他两种滤波器相比，在衰减特性、相位特性和响应特性等方面具有特性均衡的优点，在实际应用中己被列入首选[9]。接下来以二阶巴特沃斯有源低通滤波器为例来研究多重反馈二阶低通滤波器的优化设计问题。
二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为[10]：
对于多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器设计来讲，α=1.4142，β=1，Hup=-1，m至少存在一个最方便的选择，即m=14，这时计算非常方便，R3=设计截止频率fc=100 Hz的多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器，具体设计数据见表2。根据实际选择参数重新计算得到通带放大倍数Hup=-1，截止频率fc=100.0351 Hz。
表2 多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计值表Table 2 Design values of two-order Butterworth low-pass filter with multiple feedbacksC1/µF 0.1 C2/nF 25 R1/kΩ 45.0 R2/kΩ 2
2.5 R3/kΩ 45.0 R4/kΩ 45.0
4 仿真研究
4.1 搭建仿真电路图
Multisim是专门用于电子线路仿真的“虚拟电子工作台”软件，它将电路的原理图、功能测试和仿真结果汇集到一个电路窗口，具有界面形象直观、元器件种类多、仪器仪表齐全、分析方法多样、操作方便等优点[11-12]，既可进行电路设计，也可对所设计的电路进行各种功能模拟仿真试验。