第7章三角函数
§7．1锐角三角函数
7．1．1★比较下列各组三角函数值的大小：
（1）与；
（2）与；
（3），，和三角函数公式大全初中数学．
解析（1）利用互余角的三角函数关系式，将化，再与比大小．
因为，而
，
所以．
（2）余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊的三角函数值，间接比较它们
的大小．，再将，分别与，比大小．
因为
，，
所以，
所以．
（3），显然，均小于1，而，均大于1．再分别比较与，以及与的大小即可．
因为，所以
．
因为，
所以，
所以．
评注    比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：
（1）同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．
（2）互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．
（3）不能化为同名的两个三角函数，可通过与某
些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如，，的三角函数值．
7．1．2    ★化简求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若求的值．
解析（1）
原式=
．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式=．
（5）原式
．
评注    同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．
7．1．3★试证明在锐角三角形中，任何一个角的正弦大于其他两个角的余弦．
解析    在锐角三角形里，显然有，所以有．
由于在~范围内，当增加时，其正弦值是增加的，于是我们知道．
同理可以证明其他的五组．
7．1．4★下列四个数中哪个最大：
A．            B．
C．            D．
解析    显然， 0<cos48°<1．因此有：
，
所以最大．
7．1．5★设为锐角，且满足，求．
解析    我们将代入，得到，并且是锐角，因此所以．
因此．
7．1．6★★在中，，，．证明：是锐角，并计算的值．
解析    若，则，，于是，矛盾．
为计算，必须构造出一个以为其一锐角的直角三角形．如图，过作交于，使，则．
又
=
所以，
，