HEFEI UNIVERSITY
信号与系统项目设计报告
系 别 电子信息与电子工程系
题 目 项目第十题
专 业 电子信息工程
班 级 11电子信息工程（2）班
小组成员 钟文俊（1105012012） 谢伟明（1105012041) 授课老师 纪平
完成时间 2014.01.02
用MATLAB仿真离散系统差分方程
1、设计题目
系统输入序列为。
2、设计要求
1、试用MATLAB绘出输入序列的时域波形；
2、用MATLAB求出该系统0～20区间的样值；
3、用MATLAB画出系统的零状态响应波形。
3、功能分析
差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律 。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引路系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进步再结合其他分析，得到原问题的解。
4、设计原理分析
1、差分方程定义
含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方
程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。
2、差分方程的意义与应用
差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种数量结构规律分析、疫病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律，性质，就可以适当的用差分方程模型来表现体与分析求解。
3、用MATLAB仿真时用的相关函数说明
在用MATLAB仿真离散系统的差分方程时可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真，用y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应。
3.1利用filter函数实现差分方程说明：
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1]
y[1]=x[1]+2*0=1%(x[1]之前状态都用0)
y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4
3.2用filter函数求该差分方程y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]的单位冲激响应和单位阶跃响应说明：
单位冲激响应：
a1=[1,0.75,0.125];
b1=[1,-1];
n=0:20;
x1=[1 zeros(1,20)];
y1filter=filter(b1,a1,x1);
stem(n,y1filter);
title('y1filter');
xlabel('x');
ylabel('y');
单位阶跃响应：
a1=[1,0.75,0.125];
b1=[1,-1];
n=0:20;
x2=ones(1,21);
y1filter=filter(b1,a1,x2);
stem(n,y1filter);
title('y1filter_step');
xlabel('x');
ylabel('y');
3.3用impz函数求差分方程y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]的单位冲击响应和单位阶跃响应说明：
用subplot函数单位冲击响应：
a1=[1,0.75,0.125];
b1=[1,-1];
impz(b1,a1,21);
单位阶跃响应：
a=[1,0.75,0.125];
b=1;
impz(b,a)；
即y=filter(p,d,x)用来实现差分方程，d表示差分方程输出y的系数，p表示输入x的系数，而x表示输入序列。输出结果长度数等于x的长度。y=impz(p,d,N)是用来实现冲击响应的，d和p的定义见filter，N表示冲击响应输出的序列个数。
5、详细设计
1、设计函数思路
利用MATLAB软件实现这个仿真过程，其中应用到filter函数来实现差分方程的零状态响应，利用impz函数来实现差分方程0～20区间的样值的取样。
2、理论计算
由两边Z变换得
求得：
，
再由得
求得：
， ，
求得：
3、设计过程记录
第一次：
a=[1 -0.25 0.5]; %差分方程系数
b=[1 1]; %差分方程系数
n=0:20; %序列个数
fn=0.5.^n; %输入序列
y=filter(b,a,fn); %系统零状态响应
subplot(1,3,1),stem(n,fn,'filled');title('输入序列');grid on
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