matlab在DSP中的应⽤（四）---离散系统的冲激响应和阶跃响应
⼀、实验⽬的
(1)加深对离散线性移不变(LSI)系统基本理论的理解，明确差分⽅程与系统函数之间的关系。　
(2)初步了解⽤MATLAB语⾔进⾏离散时间系统研究的基本⽅法。
(3)掌握求解离散时间系统冲激响应和阶跃响应程序的编写⽅法，了解常⽤⼦函数。
⼆、实验涉及的MATLAB⼦函数
1.impz
功能：求解数字系统的冲激响应。
调⽤格式：
［h，t］＝impz(b，a)；求解数字系统的冲激响应h，取样点数为缺省值。
［h，t］＝impz(b，a，n)；求解数字系统的冲激响应h，取样点数由n确定。
impz(b，a)；在当前窗⼝⽤stem(t，h)函数出图。
2.dstep
功能：求解数字系统的阶跃响应。
调⽤格式：
［h，t］＝dstep(b，a)；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数为缺省值。
［h，t］＝dstep(b，a，n)；求解数字系统的阶跃响应h，取样点数由n确定。
dstep(b，a)；在当前窗⼝⽤stairs(t，h)函数出图。
3.filter
功能：对数字系统的输⼊信号进⾏滤波处理。
调⽤格式：
y＝filter(b，a，x)；对于由⽮量a、b定义的数字系统，当输⼊信号为x时，对x中的数据进⾏滤波，结
果放于y中，长度取max(na，nb)。［y，zf］＝filter(b，a，x)；除得到结果⽮量y外，还得到x的最终状态⽮量zf。
y＝filter(b，a，x，zi)；可在zi中指定x的初始状态
4.filtic
功能：为filter函数选择初始条件。
调⽤格式：
z＝filtic(b，a，y，x)；求给定输⼊x和y时的初始状态。
z＝filtic(b，a，y)；求x＝0，给定输⼊y时的初始状态
其中，⽮量x和y分别表⽰过去的输⼊和输出：
x＝［x(－1)，x(－2)，…，x(－N)
y＝［y(－1)，y(－2)，…，y(－N)］
关于该函数可参考的使⽤。
说明：以上⼦函数中的b和a，分别表⽰系统函数H(z)中由对应的分⼦项和分母项系数所构成的数组。
如下⾯式(5-2)所⽰，H(z)按z－1(或z)的降幂排列。在列写b和a系数向量时，两个系数的长度必须相等，它们的同次幂系数排在同样的位置上，缺项的系数赋值为0。
在MATLAB信号处理⼯具箱中，许多⽤于多项式处理的函数，都采⽤以上的⽅法来处理分⼦项和分母项系数所构成的数组。在后⾯的实验中不再说明。
三、实验原理
1.离散LSI系统的响应与激励
由离散时间系统的时域和频域分析⽅法可知，⼀个线性移不变离散系统可以⽤线性常系数差分⽅程表⽰：
也可以⽤系统函数来表⽰：
系统函数H(z)反映了系统响应与激励间的关系。⼀旦上式中的bm和ak的数据确定了，则系统的性质也就确定了。其中特别注意：a0必须进⾏归⼀化处理，即a0＝1。
对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位脉冲序列或单位阶跃序列，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，即可得到复杂信号加于系统的零状态响应。
因此，求解系统的冲激响应和阶跃响应尤为重要。由下图可以看出⼀个离散LSI系统响应与激励的关系。
2.⽤impz和dstep⼦函数求解离散系统的单位冲激响应和阶跃响应
在MATLAB语⾔中，求解系统单位冲激响应和阶跃响应的最简单的⽅法是使⽤MATLAB提供的impz和dstep⼦函数。
下⾯举例说明使⽤impz和dstep⼦函数求解系统单位冲激响应和阶跃响应的⽅法。
例5-1 已知⼀个因果系统的差分⽅程为
6y(n)＋2y(n－2)＝x(n)＋3x(n－1)＋3x(n－2)＋x(n－3)
满⾜初始条件y(－1)＝0，x(－1)＝0，求系统的单位冲激响应和阶跃响应。
解：⾸先，将y(n)项的系数a0进⾏归⼀化，得到：
y(n)＋1/3* y(n－2)＝1/6* x(n)＋1/2* x(n－1)＋1/2* x(n－2)＋1/6* x(n－3)
则：
编写MATLAB程序如下(取N＝32点作图)：
输出结果：
需要注意的是：求时域单位阶跃函数时，需要使⽤的是gn=dstep(b,a,n+1)，⽽不是gn=dstep(b,a,n)，在这⾥前者产⽣32* 1的矩阵（和n ⼀样），后者产⽣31* 1矩阵。但是，如果我就是想⽤gn=dstep(b,a,n)呢？也可以，只要把stem(n,gn)；改成stem(n(1:length(gn)),gn)；就可以了，代码如下：
a=[1 0 1/3 0];
b=[1/6 1/2 1/2 1/6];
N=32;%作图点数
n=0:N-1;
hn=impz(b,a,n);%时域单位冲激函数
gn=dstep(b,a,n+1);%时域单位阶跃函数
subplot(1,2,1),stem(n,hn);
title('系统单位冲激函数')
axis([0 N 1.1*min(hn) 1.1*max(hn)])
subplot(1,2,2),stem(n,gn);
title('系统单位阶跃函数')
axis([0 N 1.1*min(gn) 1.1*max(gn)])
输出：
注意，如果把stem(n,gn)；改成stem(gn)的话，输出的阶跃函数会向右偏移：
实际上，上⾯的做法都不是很标准，很容易混淆。impz和dstep这两个函数的第三个参数是⽤来指定采样点的，⽽上⾯的代码中传⼊的是⼀个数组，这也是说我们⾃⼰指定了采样点的范围了。但是在这⾥
还是选择指定采样点N⽐较好理解，⽽且不容易出错。另外注意到，axis这个函数不能随便⽤的，对于axis([0 N 1.1*min(hn) 1.1*max(hn)])，，如果9.5<=hn<=10，那么1.1*min(hn)就超过了hn的最⼤值了，这样就看不到图像了
a=[1 0 1/3 0];
b=[1/6 1/2 1/2 1/6];
N=32;%作图点数
n=0:N-1;
hn=impz(b,a,n);%时域单位冲激函数
gn=dstep(b,a,n);%时域单位阶跃函数
subplot(1,2,1),stem(n,hn);
title('系统单位冲激函数')
axis([0 N 1.1*min(hn) 1.1*max(hn)])
subplot(1,2,2),stem(n(1:length(gn)),gn);
title('系统单位阶跃函数')
axis([0 N 1.1*min(gn) 1.1*max(gn)])
axis这个函数是⼈为⽤来调整的，要⽤之前最好先绘出图像，看了图像的数值范围后再使⽤。下⾯给出代码：
输出结果：
例 5-2 已知⼀个系统函数公式
，求该系统的单位冲激响应和阶跃响应。
解：分析上式可知，这是⼀个6阶系统，直接⽤MATLAB语⾔列出其bm和ak系数： a＝［1，0，0.34319，0，0.60439，0，0.20407］;
b＝［0.1321，0，－0.3963，0，0.3963，0，－0.1321］；代码：a=[1 0 1/3 0];
b=[1/6 1/2 1/2 1/6];
N=32;%作图点数
n=0:N-1;
hn=impz(b,a,N);%时域单位冲激函数
gn=dstep(b,a,N);%时域单位阶跃函数
subplot(1,2,1),stem(n,hn);
title('系统单位冲激函数')
%axis([0 N 1.1*min(hn) 1.1*max(hn)])
用subplot函数
subplot(1,2,2),stem(n,gn);
title('系统单位阶跃函数')
%axis([0 N 0 1.1*max(gn)])