重难点专项突破06相似三角形中的“手拉手”旋转模型
【知识梳理】
“手拉手”旋转型模型展示：
如图，若△ABC ∽△ADE ，则△ABD ∽△ACE .[来
.Com]
【考点剖析】
例1.如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD //BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，联结EF 交CD 于M ．已知BC =5，CF =3，则DM :MC 的值为（
）A ．
53
B ．35
C ．43
D ．
34
A
B C
D
E
F
M
例2、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠
DBE ，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD ∽△CBE ；(2)△ABC ∽△DBE .
例3.把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB =
DE =4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF
绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则
此时AP CQ = ______；
（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中090α︒<<︒，问AP CQ  的值是否改变？请说明理由．
F
A
B (Q )
C
D (O )
E
P P
A
B
C
D (O )
A
B
C
D (O )
Q
P Q E
F
E
F
图1
图2
图3
例4.如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与
ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕
点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与
射线CA 相交于点Q ．
（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；
（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；并求当BP =a ，9
2
CQ a
typec转dp=时，P 、Q 两
点间的距离（用含a 的代数式表示）．
A
B
C
D
E F
A
B
C
D
E F
P
P Q
图1
图2
Q
例5.在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当α＝60°
时，的值是
，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是
．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°
时，请写出的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D
在同一直线上时
的
值．
【过关检测】
一．填空题（共1小题）
1．（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是．
二．解答题（共7小题）
2．（2022秋•杨浦区期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，联结BD，以BD为斜边作等腰直角三角形BDE（点E在直线BD右侧），联结CE．
（1）如果∠A＝45°，求证：△ABD∽△CBE；
（2）如果BC＝12，CD＝5，求线段CE的长．
3．（2021春•徐汇区校级期末）如图，∠1＝∠2，AD＝AE，∠B＝∠ACE，且B、C、D三点在一条直线上，若∠B ＝60°．
（1）△BAD与△CAE是否全等，请说明理由；
（2）△ABC是否是等边三角形，如果是．请说明理由；
（3）CE＝AC+CD是否成立，如果成立请说明理由．
4．（2022•静安区二模）如图①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，联结BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）求∠ADC的度数；
（2）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（3）设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．