收稿日期：２０１７－０６－０６
作者简介：胡久强（１９８２ ），男，硕士研究生，工程师，主要从事汽车悬架系统设计与研究㊂Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｈｊｑ＠ｎａｎｊｕｎａｕｔｏ ｃｏｍ㊂
ＤＯＩ：１０ １９４６６／ｊ ｃｎｋｉ １６７４－１９８６ ２０１７ １０ ０１２
汽车多片簧的设计计算及软件开发
胡久强１，杨燕２，郭辉３
（１ 上汽依维柯红岩商用车有限公司，重庆４０１１２２；２ 湖南理工学院，湖南岳阳４１４００６；
３ 资阳市雁江区农业局，四川资阳６４１３００）
摘要：汽车多片钢板弹簧的设计，是刚度㊁应力和弧高的统一，是一件十分复杂和繁琐的工作，它必须考虑片端力㊁变形及刚度㊁曲率半径及预应力㊁总成及单片应力等内容，需反复修改和计算，过程复杂㊁计算工作量大㊂为了降低板簧设计计算过程的繁杂性，提高设计计算效率，以板簧设计理论为基础，基于ＭＡＴＬＡＢ，以工程应用为目的，编写了相关的设计计算软件，以期对相关设计提供参考和帮助㊂
关键词：钢板弹簧；软件开发；ＭＡＴＬＡＢ
中图分类号：Ｕ４６２ １㊀文献标志码：Ｂ㊀文章编号：１６７４－１９８６（２０１７）１０－０５１－０５
ＤｅｓｉｇｎＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｆｏｒＭｕｌｔｉ⁃ｌｅａｆＳｐｒｉｎｇ
ＨＵＪｉｕｑｉａｎｇ１，ＹＡＮＧＹａｎ２，ＧＵＯＨｕｉ３
（１ ＳＡＩＣ⁃ＩＶＥＣＯＨｏｎｇｙａｎＣｏｍｍｅｒｃｉａｌＶｅｈｉｃｌｅＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４０１１２２，Ｃｈｉｎａ；２ ＨｕｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＹｕｅｙａｎｇＨｕｎａｎ４１４００６，Ｃｈｉｎａ；３ ＹａｎｊｉａｎｇＤｉｓｔｒｉｃｔＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＢｕｒｅａｕ，ＺｉｙａｎｇＳｉｃｈｕａｎ６４１３００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｍｕｌｔｉ⁃ｌｅａｆｓｐｒｉｎｇｉｓｔｈｅｕｎｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｓｔｒｅｓｓａｎｄａｒｃｈｅｉｇｈｔ．Ｉｔ ｓａｖｅｒｙｃｏｍｐｌｅｘａｎｄｔｅｄｉｏｕｓ
ｗｏｒｋ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｅｎｄｆｏｒｃｅｏｆｅａｃｈｌｅａｆｓｐｒｉｎｇ，ｄｅｆｏｒ
ｍａｔｉｏｎａｎｄｓｔｉｆｆｎｅｓｓ，ｃｕｒｖａｔｕｒｅｒａｄｉｕｓａｎｄｐｒｅｓｔｒｅｓｓｆｏｒｃｅ，ａｓｓｅｍｂｌｙａｎｄｍｏｎｏｌｉｔｈｉｃｓｔｒｅｓｓｅｔｃｍｕｓｔｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｉｎｔｈｅｄｅｓｉｇｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ，ｉｔａｌｓｏｎｅｅｄｓｔｏｍｏｄｉｆｙａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｒｅｐｅａｔｅｄｌｙ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｅｓｉｇｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｄｅｓｉｇｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ，ａｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｇｒａｍｗａｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．ＴｈｅｐｒｏｇｒａｍｗａｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｌｅａｆｓｐｒｉｎｇｄｅｓｉｇｎｔｈｅｏｒｙａｎｄＭＡＴＬＡＢ，ｗｈｉｃｈｈａｄｃｅｒｔａｉｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｖａｌｕｅｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｉｔｐｒｏｖｉｄｅｓｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｒｅｌａｔｅｄｄｅｓｉｇｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍｕｌｔｉ⁃ｌｅａｆｓｐｒｉｎｇ；Ｓｏｆｔｗａｒｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ；ＭＡＴＬＡＢ
０㊀引言
汽车多片簧的设计，首先根据整车基本参数初算钢板弹簧刚度㊁厚度㊁偏频等参数，然后确定片宽㊁片数㊁厚度和长度，最后进行刚度验算和强度校核，其间还需计算弹簧总成及单片的曲率半径㊁弧高㊁预
应力等参数，计算工作量比较大，是一件十分复杂和繁琐的工作㊂为了解决板簧设计计算过程的繁杂性，提高设计计算效率，以工程应用为目的，基于ＭＡＴ⁃ＬＡＢ编写了多片簧设计计算软件，以期对相关设计提供参考和
帮助㊂
１㊀钢板弹簧设计计算理论
汽车多片簧的设计，是刚度㊁应力和弧高的统一，它必须考虑片端力㊁变形及刚度㊁曲率半径及预应力㊁总成及单片应力等内容，是一件十分复杂的工作，主要涉及到如下一系列问题［１］㊂
１ １㊀片端力
片端力是计算单片应力和总成刚度的基础，而单片应力又是强度和寿命的依据㊂计算单片应力有共同曲率法和集中载荷法，由于集中载荷法更加贴近实际，故采用集中载荷法计算片端力，如图１所示
㊂
图１㊀片端力计算
㊀㊀计算时，根据相邻片之间接触点变形相等的条件，可以建立整副板簧的平衡方程组，如公式（１）所示：
ｆＡｋ－ｆＢｋ＝ｆＣｋ－ｆＤｋＰｋｌ３ｋ
２ＥＩｋηＡｋ－
Ｐｋ＋１ｌ３ｋ＋１３ＥＩｋ
ηＢｋ＝
Ｐｋ＋１ｌ３ｋ＋１３ＥＩｋ＋１
ηＣｋ－
Ｐｋ＋２ｌ３ｋ＋２３ＥＩｋ＋１
ηＤｋ
{
（１）
式中：ｆＡｋ为力作用于ｌｋ片端部，中部某断面的变形；ｆＢｋ为力作用于ｌｋ片中部，相应断面的变形；ｆＣｋ为力作用于ｌｋ＋１片端部，端部处的变形；ｆＤｋ为力作用于ｌｋ＋１片中部，端部处变形；Ｐｋ为第ｋ片的片端力；ｌ为二分之一片长；Ｅ为材料的弹性模量；η为计算系数，分别为公式（２）所示：
ηＡｋ＝１２（ｌｋ＋１／ｌｋ）２［３－（ｌｋ＋１／ｌｋ）］
ηＢｋ＝ηＣｋ＝１ηＤｋ＝１
２［３（ｌｋ＋１／ｌｋ＋２）－１］
ìî
íïïï
ïï（２）
１ ２㊀变形及刚度
弹簧总成端部的变形，对于对称弹簧来说，就是弹簧总成
的变形［２］㊂有了弹簧在非夹紧状态下的总成变形，就可计算出弹簧总成的自由刚度和夹紧刚度㊂图２为推求整副板簧在满载载荷Ｐ的作用下端部变形示意图
㊂
图２㊀弹簧总成变形
根据莫尔定理，弹簧端部在力Ｐ作用下的变形为：ｆ＝ʏ
ｌ１
０
Ｍ０ＭＥＩｘ
ｄｘ＝
ʏａ２ａ１
＋ʏ
ａ３ａ２
＋
ʏ
ａｎａｎ－１
＝
ðｎｋ＝１
ʏ
ａｋ＋１ａｋ
Ｐａ３ｋ＋１３ＥＩｋ－Ｐａ３ｋ
３ＥＩｋéëêùû
ú㊀
ａ１＝０
（３）
由此，则整副板簧的自由刚度和夹紧刚度为：ｃ０＝
２Ｐ
ｆ＝６Ｅα／ðｎ
ｋ＝１ａ３
ｋ＋１
－ａ３ｋ
Ｉｋ
æ
è
çö
ø
÷
ｃＪ＝ｃ０（０ ９５＋２Ｓ／Ｌ）
{
（４）
式中：α为修正系数，可取０ ９ ０ ９２；参数ａｋ＝ｌ１－ｌｋ，ａｎ＋１＝ｌ１；
Ｉｋ为惯性矩；Ｓ为夹紧长度；Ｌ为主片伸直长度㊂
１ ３㊀单片曲率半径计算及预应力分配
钢板弹簧设计的重要环节和内容就是：在已知总成曲率半
径Ｒ０㊁各片厚度ｈｋ㊁宽度ｂ㊁长度Ｌｋ的情况下，确定各片预应
力σ０ｋ和曲率半径Ｒｋ㊂
１ ３ １㊀各片预应力的确定
预应力σ０ｋ的确定，实则为弯矩Ｍｋ的确定，推荐采用弯矩
曲线图法来确定各片弯矩和预应力［３］㊂图３中纵坐标代表弯矩Ｍｋ，横坐标表示各片的序号ｋ㊂当在横坐标上取适当长度代表总片数ｎ，并将ｎ等分，那么各等分点１㊁２㊁  ㊁ｋ㊁  ㊁
ｎ便表示各片的位置，ａᶄ表示ａ的整数部分，相应的纵坐标就代表各片预应力的弯矩
㊂
图３㊀弯矩曲线图
图中Ｍ１㊁ａ㊁θ㊁Ｍａ＋２是待求参数，当确定了这些参数，弯
矩图曲线就确定了㊂有了弯矩曲线图，就可以方便地计算出各片的弯矩和预应力，待求参数由计算公式（５）确定：
Ｍ１
＝（３０００－σ静）Ｗ１
ａ＝ｎ／２－１ｔａｎθ＝ ＥＩａᶄ＋２δａᶄ＋２Ｒ０＋ðａᶄ＋２ｉ＝１
ｈｉ－１()２
Ｍ
ａᶄ＋２＝ＡＭ１－Ｂｔａｎθ
ìîí
ïïïïïï（５）
式中：厚度ｈ１为主片厚度；Ｌ１为主片长度；ｆｃ为满载静挠度；δ为挠度增大系数； 为非单一圆弧系数，各片等厚时取 ＝１ ０６，不等厚时取 ＝１ ２；其余各计算参数由公式（６）计算确定：
Ａ＝
ａᶄ［１－（ａᶄ－１）／（ｎ－４）］ｎ－［ａᶄ＋１ ５＋２／（２ａᶄ＋６－ｎ）］Ｂ＝
（ｎ－ａᶄ－４）（ｎ－ａᶄ－２）２｛ｎ－［ａᶄ＋１ ５＋２／（２ａᶄ＋６－ｎ）］｝σ静＝６Ｅｈ１ｆｃ／［δ（Ｌ１－ｋＳ）２］
ìîíïïï
ïï
（６）
１ ３ ２㊀各片曲率半径的确定
在已知各片厚度ｈｋ㊁预应力σ０ｋ以及总成曲率半径Ｒ０的情
况下，可确定各片曲率半径Ｒｋ：
１Ｒｋ＝２σ０ｋＥｈｋ
＋ ／（Ｒ０＋ðｋｉ＝１
ｈ
ｉ－１
）（７）
其中，非单一圆弧系数 为：
∂
＝１－
２
Ｅ
ðｎ
ｋ＝１
（Ｉｋ
Ｌｋ
σ
０ｋ
）／ｈｋ（Ｒ０＋
ðｎｋ＝１
ｈ
ｉ－１
）２[]{}
ðｎｋ＝１
ＩｋＬ
ｋ
()／（Ｒ０＋
ðｎ
ｋ＝１
ｈ
ｉ－１
）
３[]{}
（８）
１ ４㊀总成曲率半径计算及预应力校核
钢板弹簧总成在自由状态下的曲率半径是指主片上的曲率
半径，所谓总成曲率半径只不过是总成自由弧高Ｈ０的换算半径，如图４所示㊂在已知各片长度Ｌｋ㊁厚度ｈｋ㊁宽度ｂ以及曲率半径Ｒｋ的情况下，计算总成在自由状态下的曲率半径Ｒ０，同时校核各片预应力σ０ｋ，这是对已有板簧的验算［３］
㊂
图４㊀总成曲率构成
依据郭孔辉院士提出的 郭氏Ｕ法 计算总成曲率半径，该方法依据最小势能原理，计算结果比较可靠，而且接近实际情况，在考虑片厚影响的条件下，总成曲率半径为：
Ｒ０＝
ðｎｋ＝１ＡｋＣｋ／Ｂｋ()／
ðｎｋ＝１
Ａ
ｋ
／Ｂｋ()
（９）
其中，参数Ａｋ㊁Ｂｋ㊁Ｃｋ㊁Ｒᶄ０分别为：
Ａｋ
＝ＩｋＬｋ／Ｒｋ
Ｂｋ＝
（１＋ðｋ
ｉ＝１ｈｉ＋１／Ｒᶄ０）３Ｃｋ＝Ｒｋ＋ðｋｉ＝１ｈｉ－１
Ｒᶄ０
＝１
ｎðｋｉ＝１Ｒｋìî
í
ïïïïïïïï（１０）
在计算和校核预应力前，需确定非单一圆弧系数，虽然它对曲率半径的影响较小，但对预应力的影响是不可忽视的，因此需确定非单一圆弧系数 ：
＝
ðｎ
ｋ＝１ＩｋＬｋ
ðｎ
ｋ＝１
Ｉ
ｋ
／Ｒｋ
ðｎ
ｋ＝１
ＩｋＬ
ｋ
／Ｒｋðｎ
ｋ＝１
Ｉｋ
（１１）
有了非单一圆弧系数就可以根据下式计算和校核弯矩和预应力：
Ｍｋ＝ＥＩｋ１
Ｒｋ
－ ／（Ｒｋ＋ðｋｉ＝１ｈ
ｉ－１
）
[]σ０ｋ
＝Ｅｈｋ２１
Ｒ
－ ／（Ｒｋ
＋
ðｋｉ＝１
ｈ
ｉ－１
）[]
ìî
í
ïïïï（１２）
１ ５㊀总成及单片应力
对于总成根部静应力的计算，建议直接采用集中载荷法的各片根部应力平均值来代替总成根部静应力㊂
σＡ＝０ ０６ｎｂðｎ
ｋ＝１
［（Ｐｋｌｋ－Ｐｋ＋１ｌｋ＋１）／ｈ２ｋ］（１３）
单片弯矩和应力的计算，各单片任意截面的应力σｋｘ按下式计算：
σｋｘ＝Ｍｋｘ／１００Ｗｋ
（１４）
其中：Ｍｋｘ为各片任意截面处的弯矩；Ｗｋ为各片断面系数㊂
２　钢板弹簧设计计算过程
钢板弹簧的设计是以整车技术参数作为输入条件，首先需确定设计载荷㊁板簧长度㊁偏颇要求㊁悬架静挠度㊁动挠度㊁满载弧高以及整车布置要求，然后根据设计理论和计算公式进行计算㊁选择和匹配㊂钢板弹簧设计简图如图５所示［４
－５］
㊂
图５㊀钢板弹簧简图
２ １㊀板簧刚度初算及总惯性矩的确定
首先根据整车布置需要确定板簧设计所需基本参数：钢板
弹簧簧上载荷Ｆｗ㊁钢板弹簧伸直长度Ｌ㊁钢板弹簧悬架静挠度ｆｃ㊁钢板弹簧悬架动挠度ｆｄ㊁钢板弹簧满载弧高ｆａ，由此可计算板簧刚度：
Ｃ＝Ｆｗ／ｆｃ
（１５）
有关钢板弹簧的刚度㊁强度等，可在引入修正系数δ后按等截面简支梁的计算公式计算，根据修正后的简支梁公式计算钢板弹簧所需的总惯性矩Ｊ０，对于对称式钢板弹簧：
Ｊ０＝
（Ｌ－Ｃｓ）３ｋｔδ
４８Ｅ
（１６）
式中：ｓ为Ｕ形螺栓中心距；ｋ为考虑Ｕ形螺栓夹紧处钢板弹簧后的无效长度系数；δ为挠度增大系数；Ｅ为材料的弹性模量㊂
２ ２㊀板簧断面尺寸及片数确定
钢板弹簧总截面系数Ｗ０按公式（１７）确定：
Ｗ０＝（Ｌ－Ｃｓ）Ｆ／４［σｗ］
（１７）
式中：［σｗ］为许用应力㊂
由此可计算钢板弹簧平均厚度ｈｐ：
ｈｐ＝
２Ｊ０Ｗ０
＝
（Ｌ－Ｃｓ）２δ［σｗ］Ｆ
６Ｅｆ０
（１８）
有了平均厚度ｈｐ后，就可以对钢板弹簧的叶片宽度ｂ进行
设计选择㊂增大叶片宽，能增加卷耳强度，但车身受侧向力的作用倾斜时板簧的扭应力会增大㊂而且前悬架用宽的板簧，会影响转向轮的最大转角㊂减小叶片宽度，则会增加片数，从而增加片间摩擦和弹簧总成厚度㊂故推荐比值在ｂ／ｈｐ在６ １０之间㊂由此可确定片宽㊁片厚和片数，这三者是一个权衡协调的过程，而且还需要根据板簧标准选择相应的材料规格㊂
ｂ＝ｈｐｒ
ｎ＝１２Ｊ０／ｂｈ３ｐ
{
（１９）
２ ３㊀各叶片长度与总成刚度计算
钢板弹簧各叶片长度是基于各叶片展开图接近梯形梁的这
一原则来确定的，所以选用作图法来确定钢板弹簧的各片长度㊂首先确定钢板弹簧第一片长度ｌ１，第ｉ片的一半长度为ｌｉ：
ｌ１＝Ｌ／２ｌｉ＝
［ｌ１－（ｌ１－ｓ／２）］（ｉ－１）
ｎ
{
（２０）
在所有参数确定后，需要对总成刚度进行验算㊂在此之前，有关挠度增大系数δ㊁惯性矩Ｊ０㊁片长和叶片端部形状等的确定都不够准确，所以有必要验算刚度，这里采用共同曲率法计算刚度㊂总成自由刚度和夹紧刚度按公式（４）计算㊂
２ ４㊀总成自由弧高和曲率半径
钢板弹簧各片装配后，在预压缩和Ｕ形螺栓夹紧前，其主
片上表面与两端连线间的最大高度差称为钢板弹簧总成在自由状态下的弧高Ｈ０，钢板弹簧总成在自由状态下的曲率半径Ｒ０按照公式（９）计算㊂
２ ５㊀各片自由状态下的曲率半径和预应力分配
因钢板弹簧各片在自由状态下和装配后的曲率半径不同，
装配后各片产生预应力，其值决定了自由状态下的曲率半径Ｒ０㊂其曲率半径和预应力分别按照公式（７）和公式（１２）计算㊂
２ ６㊀总成装配后的曲率半径和预应力
由于钢板弹簧各片在自由状态下的曲率半径Ｒｉ是根据静
预应力σ０ｉ计算而得，受其影响，装配后钢板弹簧总成与自由状态下的弧高计算结果会不同㊂因此，需要核算钢板弹簧总成
的弧高和总成曲率半径，分别按照公式（１３）和公式（１４）计算㊂
２ ７㊀强度校核
对于总成根部应力，建议采用集中载荷法的平均值来计
算，按照公式（１２）计算㊂
３　设计软件开发及计算实例
为了降低板簧设计计算过程的繁杂性，提高设计计算效率，利用ＭＡＴＬＡＢ／ＧＵＩ编写了设计计算程序，这使得设计更加方便快捷，这在工程应用上具有十分重要的意义㊂该设计软件能计算片端力㊁变形及刚度㊁曲率半径及预应力㊁总成及单片应力，完成了多片簧的设计计算流程，同时还能进行主副簧的设计计算以及悬架参数计算㊂程序流程图及软件界面分别如图６㊁图７所示㊂
某车型前悬架钢板弹簧设计计算实例：
根据某车型载荷㊁性能参数及安装布置要求，所设计的普通多片钢板弹簧需满足如下要求：板簧负荷，空载１７５００Ｎ，满足４８０００Ｎ；刚度４２０Ｎ／ｍｍ；自由弧高１３０ｍｍ；主片伸直长度１６５０ｍｍ；总成应力小于４５０ＭＰａ㊂利用设计计算程序，根据以上参数，可得相关计算结果如表１所示
㊂
图６㊀程序结构及设计流程图
图７㊀主界面
表１㊀板簧设计结果ｍｍ片序１２３４５６７８９１０１１１２１３１４片宽９０９０９０９０９０９０９０９０９０９０９０９０９０９０片厚１６１４１４１４１４１４１４１４１４１４１４１４１０１０片长１６５０１６５０１５２０１４００１２６０１１２０１０１０８８０７５０６１０５００３７０２４０２４０
㊀㊀将所设计的板簧进行刚度试验，总成理论计算自由刚度为４２６ ４Ｎ／ｍｍ，试验结果为４４０ ３Ｎ／ｍｍ，与理论计算结果一致㊂
４㊀结论
综上所述，利用ＭＡＴＬＡＢ软件，以工程应用的方式，根据整车载荷㊁性能参数及安装布置要求，完成了普通多片簧，包括主副簧的设计计算，并进行了刚度验算和强度校核，其间还计算了弹簧总成及单片的曲率半径㊁弧高㊁预应力等参数㊂基本解决了板簧设计计算过程的繁杂性，提高了设计计算效率，具有一定的工程应用价值㊂
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ＪＩＡＮＧＨＢ，ＺＨＯＵＫＫ．ＴｙｐｅＳｅｌｅｃｔｉｎｇａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＡｉｄｅｄＰａｒａｍｅｔｅｒＤｅｓｉｇｎｏｆＬｅａｆＳｐｒｉｎｇｓｆｏｒＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＴｒａｎｓｐｏｒｔｅｒｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｎｇｓｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ），２０００，２１（１）：１９－２３．