基于MATLAB的FIR数字低通滤波器设计
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（陕西理工学院  物理与电信工程学院  通信工程专业 2011级4班,陕西 汉中 723003）
指导老师：***
[摘要]FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，由于FIR数字滤波器具有严格的线性相位，因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件，分析了窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。在分析三种设计方法原理的基础上，借助Matlab仿真软件工具箱中的fir1实现窗函数法中的哈明窗设计FIR低通滤波器。
[关键词] FIR数字滤波器;线性相位窗函数;法哈明窗;Matlab
Designing FIR low-pass digital filter based on VHDL
Zhoulonggang
(Grade11,Class4,Major of Communication Engineering，School of Physics and Telecommunication Engineering , Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723003,Shaanxi)
Tutor:JingYingMin
Abstract:FIR digital filter is an important part of digital signal processing,the FIR digitalfilter with linear phase, so it has been widely applied in the collection and processing of information in the course of. This paper introduces the concept of FIR digital filter with linear phase conditions, analysis of the window functionmethod and frequency sampling method and the ripple approximation method ofFIR filter design ideas and processes. Based on analyzing the principle of three kinds of design method, using Matlab simulation software fir1 toolbox in design and implementation of FIR Hamming window window function method in the low pass filter.
Keywords: FIR digital filter, linear phase,the window function method,Hamming window,Matlab
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引言
随着信息科学和计算机技术的不断发展，数字信号处理(DSP，Digital Signal Processing)的理论和技术也得到了飞速的发展，并逐渐成为一门重要的学科，它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。在我们面临的信息革命中，数字信号处理几乎涉及了所有的工程技术领域[1]。
数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术，它的目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波，最后得出其中的有用的信号。数字滤波器是数字信号处理的
一种，一般根据单位脉冲响应h(n)分为无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)系统。IIR数字滤波器的设计方法简单，特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象，但是IIR滤波器存在一个较为明显的缺憾，就是它的相位响应一般都是非线性的，而在传输频带内的相位响应如果不是线性的，就会造成有用信号的传输失真，而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应，而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应[2]。FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)有限长，所以FIR数字滤波器是稳定的，不存在稳定性的问题，且可以通过快速傅里叶变换(FFT)的算法来实现信号滤波，大大的提高的运算效率。因此，FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。
FIR数字滤波器的设计方法有很多，比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。本课题通过运用窗函数设计FIR数字低通滤波器，并实现对给定的信号进行滤波。窗函数设计法是最基本的数字滤波方法，是利用傅里叶反变换(IDTFT)计算给定的频响的理想单位脉冲响应，再加以窗函数进行截断和平滑 [3]。Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数，运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算，而且具有丰富的绘图功能，可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计
要求。因此，本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上，运用Matlab软件进行仿真分析。
1. 基本原理
1.1 FIR数字滤波器概述
一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统，其数学模型可以用Z域系统函数来表示：
                        （1-1）
其中均为滤波器参数。
frequency函数计算频数在式（1-1）中，当值不全为零值时，Z域系统函数必定含有一个或一个以上的极值点，此时单位脉冲响应为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z域系统函数必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z域系统函数的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response)，即IIR数字滤波器[4]。
而当值全为零时，Z域的系统函数只有一个零点，式（1-1）表示的系统函数可以写成：
                        （1-2）
公式（1-2）表明，FIR滤波器的系统函数是的阶多项式，在有限平面上有个零点，而在平面原点处有阶极点。
公式（1-2）表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为：
                    （1-3）
在式（1-3）中，只有当，才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器(Finite Impulese Response)，即FIR数字滤波器。
FIR数字滤波器最突出的两个优点是：
（1）只要对附加一定的条件，就很容易获得严格的线性相位。
（2）由于的极点位于原点处，所以FIR数字滤波器不存在稳定性问题。
1.2 FIR数字滤波器线性相位定义
设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N，则其频率响应可以表示为：
                    （1-4）
上式通过欧拉恒等式展开可得到的相位特性，有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。
第一类线性相位特性：
                是一个与无关的常数
第二类线性相位特性：
    是起始相位
严格地说第二种情况时的是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中是常用的一种情况[5]。