2.1　对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.
(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．
(3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
①零和负数没有对数，即N>0；
②1的对数为零，即loga1＝0；
③底的对数等于1，即logaa＝1.
2．对数的运算法则
利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
(1)基本公式
①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．
②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．
③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．
(2)对数的运算性质注意点
①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．
②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n.
3．对数换底公式
在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝ (b>0，且b≠1；对数函数运算法则公式c>0，且c≠1；N>0)．
证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，
得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要
的底数，这是数学转化思想的具体应用．
由换底公式可推出下面两个常用公式：
(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；
(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R)
.
  　                题型一　正确理解对数运算性质
对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是(  )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①与③  B．②与④  C．②    D．①、②、③、④
解析　在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．
在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.
在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．
所以，只有②成立．
答案　C
点评　正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
  　                题型二　对数运算性质的应用
求下列各式的值：
(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
(3).
分析　利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．
解　(1)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg(2×10)＋(lg2)2
＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2
＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.
(3)∵＝
＝－＝－.
点评　对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
                题型三　对数换底公式的应用
计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
分析　由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．
解　方法一　原式＝
＝
＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
方法二　原式＝
＝
＝＝13.
点评　方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．
错解　由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.
解得x＝1或x＝－3.
错因分析　对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．
正解　由对数的性质知