浮点数表示方式总结
王春桃
定点数的表示范围有限，为此需要采用浮点数表示。所谓浮点表示，即先将某一待表示数值写成二进制指数形式，然后在表示时只记录数的指数及尾数部分，这样能在有限的二进制位数情况下表示很大范围内的数值。如对于十进制数值(20.59375)10，写成二进制指数形式为0.1010010011×24，在表示是只记录尾数0.1010010011和指数100即可。
总体而言，浮点数的表示形式主要有一般格式和IEEE754格式这两种。其中，一般格式指满足一般的二进制数机器码（包括定点整数和定点小数）的规定规则；而IEEE754格式则在一般格式上进一步做了一些约定，以便表示数时比较方便和高效。下面以32位的浮点数表示作为例子来说明。
1. 浮点表示的一般格式
根据浮点表示的目的可知，浮点数需要在有限长的二进制位数（如32位）内表示尾数和指数。也就是说，在有限位数内需要包含尾数和指数两部分信息，进一步考虑到这两部分都有正负之
分，因此浮点表示的一般格式可以设计为：
图1 浮点表示的一般格式
其中阶码就是指数，阶符就是指数的符号；数符是指尾数的符号。至于它们之间各占多少位，取决于表示范围、表示精度等方面的权衡。如对于32位长的浮点数，阶符和数符各用1位，阶码可以用7位，尾数23位；阶符和阶码也可以结合起来，用一个8位来表达。
图1中，将数符放在中间部分，这与定点表示格式不一致，而且在计算机处理时也不够方便，因此实际中一般采用图2所示的浮点表示格式。
数符
阶码
尾数
图2 实际使用中的浮点表示一般格式
其中，阶符已经包含在阶码中了。例如，对于32位长的浮点数，数符用1位，0表示正数，1
表示负数；阶码用8位，通常用移码表示以方便用硬件实现指数运算，因这时表示范围为正数范围0~255，减去偏移量128得到实际的指数范围为-128~127；尾数为23位，用原码或补码纯小数表示均可。
为了使得浮点数表示的范围尽可能大及表示的效率尽可能高，尾数需要进行规格化。对于一般格式，尾数的规格化规则如下：
A、 尾数为原码时
正数：0.1xxxxx………x
负数：1.1xxxxx………x
B、 尾数为补码时
正数：0.1xxxxx………x
负数：1.0xxxxx………x
其中，最高位表示符号位（0为正数1为负数），小数点后面表示纯小数表示的尾数中属于定点小数的部分。例如，对于0.1010010011×24，尾数（连数符位）用原码和补码表示时均为为0.1010010011，因此尾数部分实际填充的二进制数值是1010010011。而对于-0.1010010011×24，用原码表示时，尾数（连数符位）为1.1010010011，因此数符为1，尾数为1010010011；用补码表示时，尾数（连数符位）为.010*******，因此数符位1，尾数为010*******。上述这两个例子就是规格化表示的具体例子。
2. 浮点表示的IEEE754格式
32位浮点表示的IEEE754格式：
其中，数符位1位，阶码E占8位，尾数M占23个比特。数符位的表示方法与一般格式的相同，0为正数，1为负数；阶码和尾数的表示方法在一般格式的基础上进一步作了一些约定，具体如下。
虽然阶码也是采用移码，但偏移量不再是128，而是127。原因是把阶码为全0和全1这两种特殊情况排除掉了，因而只有1～254才表示真正的阶码，实际的指数值为-126~+127，超过这个范围则属于溢出。
尾数用原码表示。为了进一步提高规格化数表示的效率，将规格化数规定为1.M的形式，即先不考虑符号位，而是通过对尾数进行适当的左移或右移，使得尾数的最高有效位总是出现在小数点的左边（对应一般格式的规格化数，最高有效位则出现在小数点的右边第1位）。这样，由于小数点的左边总是1，因此在表示的时候，我们可以省略掉，只要将1.M中的“M”这些小数值放在IEEE754格式中的、长为23位的“M”中即可。这样的好处是相当于多了一位（即隐含省去的那个1，这个1也称为隐含位）来表示尾数，从而使得尾数的表示效率大大增加。
IEEE754格式的例子见书本，这里不在列出。
3. 一般格式和IEEE754格式的选择问题
在小数的原码现实应用的计算机系统中，采用的是IEEE754格式。
在做题目的时候，究竟采用一般格式还是IEEE754格式，这个由题给条件来判断。如果题目中没明确声明是IEEE754格式，则采用一般格式，因为这通常是为了考察移码、规格化尾数的相关知识点。在做题的时候，数符如无特别说明都是0为正数1为负数，但对于阶码精品文档，你值得期待
和尾数则一定要看清楚题目的规定，究竟是采用哪种机器码表示。
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