关于定点数、原码、反码、补码的理解定点数： 纯整数、纯⼩数
名字由来： ⼩数点的位置是约定的；纯整数约定虚拟的⼩数点位于最后⼀位之后；纯⼩数约定虚拟的⼩数点位于第⼀位之前；由 于假想了⼀个⼩数点的位置，⽽且这个位置是约定好就不变的，所以叫做定点数
定点数的表⽰：原码、反码、补码
原码
原码的存在是最⾃然⽽然的。把⼈类书写的数按转换成⼆进制，正常情况下，转换成的⼆进制有位数要求，⽐如，转换成8位的，等等。但是如果给出的数是5，转换成⼆进制是三位，101，这个时候要在左⾯补0，补齐⼋位，成为0000 0101。但是，这个时候的⼆进制数并不是我们所要的原码，还缺了最后⼀步：符号。如果是正数，最左⾯的位，也就是最⾼位要置0，反之，是负数就将其置1。这样5的表⽰是0000 0101，⽽-5的表⽰是 1000 0101。
这样，在读的时候，机器默认8位的最⾼位是符号位，表⽰数的正负，⽽剩余的7位由⼆进制转换为⼗进制，即可得到我们惯⽤的表⽰。      所以显⽽易见，如果给出的数是255，他的⼆进制数是1111 1111，按照我们上⾯的逻辑，它是正数，应该把最⾼位置0，但
是，0111 1111，机器将会读成127；与我们最初的数并不相同，即数据出错。所以啊，8位能表⽰的数的
范围就是-127到127的整数，如果不在范围内，却转换成8位来存，读错也是没有办法的事情。
事实上，计算机所能存的数受机器字位数的限制，超出以后就发⽣溢出，将不能保证数据的正确性。除此之外，由于计算机设计的原因，机器字所能表⽰的范围，不⽌受机器字位数的限制，也受设计过程中默认的约定的影响，⼀些特殊的值对应的码可能会被赋予其他含义。
原码表⽰中有⼀个特殊的数，0。0有两种表⽰，+0和-0。其原码分别为1000 0000，和0000 0000。但是，这是原码的⼀个痛点（然⽽并不是最⼤的痛点，最⼤的痛点是原码，没有减法）。
反码
我所能想到的我们为什么要有反码的原因，就是减法了。
正数的反码就是原码；
负数的反码，将原码除符号位以外按位取反得到反码；
虽然最后证明是补码拯救了定点数的减法，但是我想反码作为⼀个中间产品出现，虽然有不⾜，但也解决了原码的某些问题。
⾸先抛出结论，反码可以解决减法问题，但是有两点瑕疵：
1. 互为相反数的两个数，其反码各位均异，导致其相加结果为-0（原码中痛点的延续，此时成为了最⼤的痛点，这就是主要⽭盾消失
了，次要⽭盾就会显现出来），⽽-0与+0的同时存在使得同⼀个数值对应不同的编码，造成很多⿇烦；
2. 使⽤反码计算减法，要使⽤循环进位，即最⾼位有溢出，则加1，否则，不加1。这⼀点使得在正数原码加法的基础上要求新的硬件结
构。
接下来解释⼀下反码计算的本质，反码计算如果没有循环进位，就什么也不是，⽽循环进位，并不是因为恰好每当这个时候加⼀个1就是正确答案，它的根源在于计算的机器字位数有限，能表⽰的范围有限。
接下来描述机器字有限的后果。例如⼋位，只能表⽰-127到+127，如果不把第⼀位当做符号位，其范围也只是0到255。255再加1时，发⽣溢出，但是溢出只是因为没有更⾼的位来存我们的进位，此时现有的⼋位为0000 0000，若不计溢出，即我们规定最⾼位没有进位，则此时值为0；以此类推，256=0,257=1,...,511=255,512=0,...；永远在0到255之间循环往复，这就是取模运算。
需要区分的是取模运算和取余运算，两者的计算原理都是⼀样的，a/d，其中a、b、c、d都是整
数，取余或者取模运算的结果就是d。但是a/d的结果并不是唯⼀的，⽐如 4/4，或者4/-4，再⽐如-7/2=-3......-1，或者-7/2=-4......1。这其中的不同，导致了取余和取模的区分。对于取余运算来说，要求商尽可能趋近0，⽐如虽然4/8的商可以是0，也可以使1，但是因为我们要趋近0，所以对于取余运算来说，取得的余数就是4；在⽐如，-7/2的商可以是-3，也可以使-4，但是因为要趋近与0，所以商是-3，余数是-1。取模运算并不是与取余运算完全相反，因为它并不是要求尽量不趋近于0，⽽是要求尽量趋近于负⽆穷，所以，对于商在零点以及正半轴来说，跟取余运算是⼀样的，但是对于负半轴来说，恰好相反，⽐如，-7/2的商，因为要求趋近于负半轴，所以商是-4，余数是1。事实上，取模运算的整数商要趋于负⽆穷，这⼀要求的本质是，要求余数必须是⼤于等于0的数。也就是说，我们取模运算得到的结果⼀定是⾃然数。⽽⾃然数对于计算机来说是⽆符号整数，表⽰是最简单的了。
所以取模运算是计算机⼀个⼗分重要的运算，不仅是因为机器字的有限位决定了取模运算的常见性，更重要的是因为取模运算本⾝契合了计算机的位数有限，⽆符号整型的表⽰。
反码减法的本质是，将有符号整型的减法，转换成⽆符号整型的加法，⽽⽆符号整型的加法是模运算。
(1)z=y-x      z'=y-x+256=y+[128+(127-x)]+1      z是我们想要的结果
如果z>=0，则z'%256=z，z'/256=1
如果z<0，则z'%256=256-|z|=128+(127-|z|)+1=z’，所以y+[128+(127- x)]=128+(127-|z|)， z'/256=0
(2)z=-y-x      z'=256*2-y-x=[128+(127-x)]+[128+(127-y)]+2
z'%256=256-|z|=128+(127-|z|)+1，所以[128+(127-x)]+[128+(127-y)]+1=128+(127- |z|), z'/256=1
总结以上两点，在参与运算时，负数全部化成128+（127-x）的形式，转化后的两数相加得到和，结果为和取模与和除以模的商相加，如果此时的结果⼤于128，那么说明结果是负数，现在的形式是128+（127-z）；反之，说明结果是正数，现在的形式即为结果。这就是反码和循环进位的本来⾯⽬了。
说实话，从原码到反码，是⼀项⼗分精彩的进步，之后从反码到补码就没有这个精彩了。
补码
补码和反码的亲缘关系很近。补码之所以成为定点数减法的最终解决⽅案，在于他完美地解决了反码中的两个痛点。
补码的定义：
正数的补码还是原码
负数的补码有两种描述⽅式：
1. 负数的反码加1
2. 负数的原码，从右到左到第⼀个1，以此为分界线，右边的0都不变，⽽左边除符号位按位取反
从反码的本质看补码的产⽣：
(1)z=y-x      z'=y-x+256=y+[128+(127-x+1)]    z是我们想要的结果
如果z>=0，则z'%256=z
如果z<0，则z'%256=256-|z|=128+(127-|z|+1)=z'，所以y+[128+(127- x+1)]=128+(127-|z|+1)
(2)z=-y-x      z'=256*2-y-x=[128+(127-x+1)]+[128+(127-y+1)]
z'%256=256-|z|=128+(127-|z|+1)，所以[128+(127-x+1)]+[128+(127-y+1)]=128+(127-|z|+1)
⽽从⽆符号整型的⾓度看负数的补码即为128+(127-x+1)
由上可知反码的本质，也是补码的本质，改变了形式，使得对于商的判断融⼊了取模运算本⾝简化了运算的逻辑。然⽽这⼀举措的实质是，对于反码来说，-x的反码是（模-1-x），⽽-x的补码是（模-x），从“模-1”到“模”的变化，是从反码到补码的变化的实质。举个例⼦，y-x，反码的计算，从⽆符号整型的小数的原码
⾓度看，本⾝是y+[128+（127-x）]，即255+（y-x），当（y-x）⼤于0的时候，由于计算机的模运算，结果将会变为[255+（y-x）]%256=[256+(y-x-1)]%256=y-x-1，即，在存在进位的情况下，反码计算的直接结果，由于为了进位满⾜模，⽽从后⾯的式⼦⾥拿⾛了⼀个1，导致结果总是少1，所以循环进位需要加1。
⽽现在，在补码的运算过程中，从⽆符号整型的⾓度看，本⾝是y+[128+(127-x+1)]，即256+（y-x），当y-x是正数以及0的情况下，计算机的取模运算直接消除了式⼦中的256，得到正确结果。所以说，从反码到补码的变化实质，是从“模-1”到“模”的变化。
根据以上解释，稍加思考，就能明⽩所谓的循环进位，本质是为了弥补进位从后⾯式⼦中拿⾛的1，所以在存在进位的情况下，要为得到的结果加1。⽽在补码中，并不存在为了进位⽽从后⾯的式⼦⾥拿1这个操作，所以，进位不进位并不造成影响。由此，消除了循环进位。
同时，由于补码的形式，使得-0的补码与+0的补码相同，即都为0000 0000，消除了0的编码不唯⼀的缺点（总算是克服了）。同时，由于⼋位的取值是从-127到127，所以补码也是从256-127到256-0，以及从0到127，并起来，即为[0,127]并[129,256]，其中128没有任何⼀个数的补码是它。约定128是-128（这个本来不存在的数）的补码。
注意：关于定点数的位数扩展，需要注意的是，位数扩展要向远离⼩数点的⽅向扩展。扩展时，左边扩
展出的位，⽤符号位填充（纯整数），右边扩展出的位⽤0填充（纯⼩数）
算术右移，左边空出来的位置要⽤符号位补齐；算术左移，右边空出来的位置补0即可。