常用的进位计数制2007-06-19 10:54 不管是人类还是计算机都可以进行计算，这种计算包括1+2=3这样的算术运算，也包括1>2这样的逻辑运算。在人类发展的过程中，通过"逢十进一"的计算方法已经得到了广泛的运用，由于计算机所采用的物理材料的特点，计算机从一开始就设计成采用"逢二进一"的计算方法。那么，计算机是如何进行计算的，又是采用何中规则与人类惯用的"十进制"进行转换的呢？
进位计数制
数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
按进位的方法进行计数，称为进位计数制。
在日常生活中，人们最常用的是十进位计数制，即按照逢十进一的原则进行计数；在计算机中采用的是二进位计数制，即按照逢二进一的原则进行计数。
在进位计数制中有数位、基数和位权三个要素。数位是指数码在一个数中所处的位置；基数是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数；位权是指在某种进位计数制中，每个数位上的数码所代表的数值的大小，等于在这个数位上的数码乘上一个固定的数值，
这个固定的数值就是这种进位计数制中该数位上的位权。数码所处的位置不同，代表数的大小也不同。例如数1011，在不同进位数制中所表示的数的大小不同。见图3.1
图 3.1 不同进位制中数的表示
其中任何一个数的运算通式为：knkn-1。。。k1k0 k-1。。。k-m = ki R i
几种常用的进位计数制
进位计数制很多，这里主要介绍与计算机技术有关的四种常用进位计数制。
１．十进制
十进位计数制简称十进制．十进制数具有下列特点：
(1)有十个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(2)每一个数码符号根据它在这个数中所处的位置（数位），按"逢十进一"来决定其实际数值，即各数位的位权是以10为底的幂次方。例如：数(123.456) 10
(123.456)10＝1×102＋２×101＋３×100＋4×10-1＋5×10-2+6×10-3 (1)
由上述分析可归纳出，任意一个十进制数K，可表示成如下形式：
(K)10＝Kn-1×10n-1＋Kn-2×10n-2＋…＋K1×101＋K0×100＋K-1×10-1＋K-2×10-2＋…＋K-m+1×10-m+1＋K-m×10-m (2)
式（2）中K为数位上的数码，其取值范围为0~9；N为整数位个数，M为小数位个数，10为基数，10n-1，10n-2…，101，100，10-1，…，10-m是十进制数的位权。
在计算机中，一般用十进制数作为数据的输入和输出。
2. 二进制数的特点
在计算机中使用的是二进制数，其实二进制与十进制是类似的，只不过是逢二进一。如二进制数1101，可展开为：
1×23+1×22+0×21+1×20 （3）
将（3）式与（1）式作比较，便会发现二进制数的基数为"2"，而不是"10"。相应的权也发生了变化，不是103、102、101、100，而是23、22、21、20。基变则权变。
3. 八进制数的特点
由于二进制数太长，不便记忆，在计算机中还经常使用十六进制数和八进制数。
八进制数的特点是逢八进一。因此其基为"8"，权则变为"8"的次方。八进制数则用0-7这八个数码来表示。
4. 十六进制数的特点
十六进制数的特点是逢十六进一。因此其基为"16"，权则变为"16"的次方。十六进制数用0-9，10个数码加上A、B、C、D、E、F六个字母码来表示，A-F分别对应于10-15这六个数。
二进制小数如何转换成十进制表3.1 十六进制数0-F与二、八、十进制数的对应关系
不同进位制数间的转换
由于计算机使用的是二、八、十六进制，而人们日常习惯于用十进制进行计算，因此在计算机和人交流信息的过程中就必须进行相应的数据转换。
将非十进制数转换为十进制数
将非十进制数转换为十进制数的方法只有一个：
1. 将二进制数 ( 11011.101 ) 2转换为十进制数
具体做法如下：
（11011.101）2 =1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3
=16+8+2+1+0.5+0.125
=（27.625）10
2. 将八进制数( 123.24 ) 8转换为十进制数
（123.24）8=1×82+2×81+3×80+2×8-1+4×8-2
=（83.3125）10
3. 将十六进制数（3AB.48）16转换十进制数
（3AB.48）16 =3×162+10×161+11×160+4×16-1+8×16-2
=（939.28125）10
将十进制数转换为非十进制数
把十进制数转换为非十进制数的方法是：
其中二、八、十六进制的基数分别为2、8、16。按上述规则，可进行相应的转换。
1．十进制转换为二进制
转换规则：整数部分"除２取余法"；小数部分"乘２取整法"。
例3.1 将十进制数(14.125)10转换为二进制数
上面的例子中，小数部分经过有限次乘2取整过程即告结束。但也有许多情况可能是无限的，要根据精度的要求在适当的位数上截止。对八进制和十六进制也有同样的情况。
2．十进制数转换成八进制数
十进制数转换成八进制数的方法是：整数部分转换采用"除8取余法"；小数部分转换采用"乘8取整法"。
例3.2 将十进制数(1275.6875)10转换成八进制数。
即（1725.6875）10＝（3275.54）8
３．十进制数转换十六进制数
将十进制数转换成十六进制数的方法是：整数部分转换采用"除16取余法"；小数部分转换采用"乘16取整法"。
例3.3 将十制数(12345.671875)10转换为十六进制数。
非十进制数与非十进制数之间的转换
1．二、八进制之间的相互转换
八进制数转换为二进制数的规则是：以小数点为界，分别向左和向右，每位八进制数用相应的3位二进制数表示，小数点保留原位。
二进制数转换成相应的八进制数的规则是：以小数点为界，分别向左和向右每3位二进制数为一组，用相应的八进制数来表示。
值得注意的是：无论是向左或向右，最后不足3位二进制数时用"0"补足3位。
2．二、十六进制之间的相互转换
十六进制数转换为二进制数的规则是：以小数点为界，分别向左和向右，每位十六进制数用相应的4位二进制数表示，小数点保留原位。
把二进制数转换成相应的十六进制数的规则是：以小数点为界，分别向左向右每4位二进制数为一组，用相应的十六进制数来表示。
值得一提的是：无论是向左或向右，最后不足4位二进制数时用"0"补足4位。
二进制与计算机
计算机是对数据信息进行高速自动化处理的机器。这些数据信息是以数字、字符、符号以及表达式来体现的，它们都以二进制编码形式与机器中的电子元件状态相对应。二进制与计算机的密切关系，是与二进制本身所具有的特点分不开的。概括起来，有下列几点：
1.可行性
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