CRR 二叉树模型
CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
t
t t r e d e u d u d
e p ∆-∆∆==--=
σ
σ
其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段;
上升的比率为u，它的概率为p;
下降的比率为d，它的概率为1-p;
r 为利率;
σ为标准差;
第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd；时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为
j i j d Su -
其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t
∆
时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设
)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价
格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0)，所以有
)0,max(,j N j j N d Su K f --=
其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p，移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ），则在风险中性情况下二叉树公式
i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,
当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
例:
（30）的男性被保险人投保了一年可续保定期寿险，无风险利率假设为2.5%，死亡波动率为100%，000881.030=q ，000932.031=q 假设一年的定期给付为10000元，求可续保选择权的期权费。
方法一：
在MATLAB 中执行如下命令：
[Price,Option]=binprice(0.000881,0.000932,0.025,1,1/4,1,1,0,0,0)
运行结果如下:
Price=
0.000881  0.0014525
0.0023948 0.0039484
0.0065098
0    0.00053435  0.000881    0.0014525  0.0023948
0    0        0.0003241 0.00053435 0.000881
0    0        0        0.00019658 0.0003241 0
0.00011923
Option=
0.00031624 0.00069948 0.0014935 0.0030222
0.0055778
8.1009e-005 0.00021253 0.00055757 0.0014628
0        0        0        0        0 0        0        0        0        0
从计算结果看，Option 第一行第一列乘以10000就是可续保选择权的期权费，该可续保选择权的期权费为3.1624元。
方法二：
由题目可知: 000881.030=q ,000932.031=q ,r=2.5%,σ=1, 4
1
=
∆t  则648721
.1411===⨯
∆e
e u t
σ
06531.604
11===⨯
-∆-e
e
d t
σ
383556.0606531.0648721.1606531
.04
1
025.0=--=--=⨯
∆e d u d e p t r
对于例题中的期权，其二叉树结构如下图所示。