13.2　课后习题详解
一、问答题
1．股票的当前价格为40美元，已知在1个月后股票的价格将可能变为42美元或38美元，无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为39美元、1个月期限的欧式看涨期权价值是多少？
答：（1）考虑下面这个组合：-1：看涨期权，＋Δ：股票
如果股票价格上升到42美元，组合价值为42Δ-3。如果股票价格下降到38美元，组合价值为38Δ。当42Δ-3=38Δ，即Δ=0.75（美元）时，两种情况下组合价值相等，此时1个月后的组合价值为28.5美元，当前的价值必定等于28.5美元的现值，即28.5e-0.08×0.08333=28.31。这意味着：
-f+40Δ=28.31
其中，f是看涨期权价格。由于Δ=0.75，看涨期权价格为40×0.75－28.31=1.69（美元）。
（2）使用另一种方法，可以计算出风险中性世界中上升概率p，必定有下式成立：
42p+38（1-p）=40e0.08×0.08333
得到：
4p=40e0.08×0.08333-38
即p=0.5669。此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：
（3×0.5669+0×0.4331）e-0.08×0.08333=1.69（美元）
这与前一种方法的计算结果相同。
2．用一步二叉树说明无套利方法与风险中性定价方法对于欧式期权的定价过程。
答：在无套利方法中，需要设定一个由期权头寸和股票头寸构成的无风险组合。通过令该组合的收益率等于无风险利率，可以为期权定价。
在风险中性定价方法中，首先计算出二叉树中每个分支的概率，这样期权的期望收益率就等于无风险利率，然后通过计算出期权的期望收益并按无风险利率将其贴现，就可以获得期权的价值，实现定价。
3．股票期权Delta的含义是什么？
答：股票期权的Delta衡量了期权价格对于股票价格小幅变动的敏感性。具体而言，Delta是股票期权价格变动与标的股票价格变动之间的比率。对于看涨期权，若Delta系数为0.5，则意味着基础期货合约或股票价格每上涨1美元，期权价格（即期权费）上涨0.5美元。对于看跌期权，当股票价格下跌时期权价格上涨。当期权合约即将到期时，实值期权合约的Delta系数为1。
4．股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一股票的价格将可能变为45美元或55美元，无风险利率为10％（连续复利）。执行价格为50美元、6个月期限的欧式看跌期权的价值是多少？
答：（1）考虑下面这个组合：-1：看跌期权，+Δ：股票
如果股票价格上升到55美元，组合价值为55Δ。如果股票价格下降到45美元，组合价值为45Δ-5。当45Δ-5=55Δ，即Δ=-0.50时，两种情况下组合价值相等，此时6个月后的组合价值为-27.5美元，当前的价值必定等于-27.5美元的现值，即：
-
27.5e-0.1×0.5=-26.16（美元）
这意味着：
-f+50Δ=-26.16
其中，f是看跌期权价格。由于Δ=-0.50，看跌期权价格为1.16美元。
（2）使用另一种方法，可以计算出风险中性世界中上升概率p，必定有下式成立：
55p+45（1-p）=50e0.1×0.5
得到：
10p=50e0.1×0.5-45
即p=0.7564。此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：
（0×0.7564+5×0.2436）e-0.1×0.5=1.16（美元）
这与前一种方法计算出的结果相同。
5．股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格可能会或上涨10%或下跌10%，无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为100美元、1年期的欧式看涨期权的价格是多少？
答：本题中，u=1.10，d=0.90，r=0.08，Δt=0.5
则：
股票价格变动如图13-3所示。从价格树的末端向回推，得到期权价值为9.61美元。期权价值也可直接通过方程式：
图13-3二叉树图
f=e-2rΔt[p2fuu+2p（1-p）fud+（1-p）2fdd]
得到：
e-2×0.08×0.5（0.70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0）=9.61（美元）
6．在习题5的情形下，执行价格为100美元，1年期的欧式看跌期权价格是多少？验证所得结果满足看跌-看涨期权平价关系式。
答：图13-4给出了利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。期权价值也可直接通过方程式得到：
f=e-2rΔt[p2fuu+2p（1-p）fud+（1-p）2fdd]
e-2×0.5×0.08（0.70412×0+2×0.7041×0.2959×1+0.29592×19）=1.92（美元）
股票价格加上看跌期权价格是100＋1.92=101.92（美元）。执行价格的现值加上看涨期权价格是100e-0.08+9.61=101.92（美元），二者相等，这就验证了看跌-看涨期权平价关系式。
图13-4二叉树图
7．由波动率计算u和d的公式是什么？
答：。
8．假设在期权期限内，股票价格变化服从两步二叉树。解释为什么用股票与期权构造的投资组合不可能在整个期权有效期内一直保持无风险状态。
答：无风险资产组合由一份期权的空头和Δ份股票的多头组成。因为Δ在期权的到期前变化，所以无风险组合同样变化。
9．股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将可能变为53美元或48美元，无风险利率为每年10%（连续复利），执行价格为49美元、期限为2个月的欧式看涨期权价值为多少？在讨论中采用无套利方法。
答：（1）2个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。考虑一份资产组合的构成：+Δ：股票，-1：期权。
2个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ-4。如果：
48Δ=53Δ-4
即：
二叉树公式
Δ=0.8
资产组合的价值为38.4（48×0.8或者53×0.8-4）。因此对于组合来说，其收益是无风险的。组合的现值为：
0.8×50-f
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
（0.8×50-f）e0.10×2/12=38.4
即：
f=2.23（美元）
因此期权的价值为2.23美元。
（2）可以直接运用公式：
f=e-rT[pfu+（1-p）fd]