⼆进制的四则运算
⼆进制的四则运算
⼆进制四则运算和⼗进制四则运算原理相同，所不同的是⼗进制有⼗个数码，“满⼗进⼀”，⼆进制只有两个数码0和1，“满⼆进⼀”。⼆进制运算⼝诀则更为简单。
1．加法
⼆进制加法，在同⼀数位上只有四种情况：
0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。
只要按从低位到⾼位依次运算，“满⼆进⼀”，就能很容易地完成加法运算。
例1 ⼆进制加法
（1）10110＋1101；
（2）1110＋101011。
解加法算式和⼗进制加法⼀样，把右边第⼀位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满⼆向上⼀位进⼀。
10110＋1101＝1000111110＋101011＝111001
通过计算不难验证，⼆进制加法也满⾜“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝10010。
多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下⼀个加数相加。
例2 ⼆进制加法
（1）101＋1101＋1110；
（2）101＋（1101＋1110）。
解
（1）101＋1101＋1110（2）101＋（1101＋1110）
＝10010＋1110＝101＋11011
＝100000；＝100000
从例2的计算结果可以看出⼆进制加法也满⾜“结合律”。
巩固练习⼆进制加法
（1）1001＋11；
（2）1001＋101101；
（3）（1101＋110）＋110；
（4）（10101＋110）＋1101。
2．减法
⼆进制减法也和⼗进制减法类似，先把数位对齐，同⼀数位不够减时，从⾼⼀位借位，“借⼀当⼆”。例3 ⼆进制减法
（1）11010－11110；
（2）10001－1011。
解（1）110101－11110＝10111；
（2）10001－1011＝110。
例4 ⼆进制加减混合运算
（1）110101＋1101－11111；
（2）101101－11011＋11011。
解（1）110101＋1101－11111
＝－11111
＝100011
（2）101101－11011＋11011
＝10011＋11011
＝101101。
巩固练习⼆进制运算
（1）11010－1101；
（2）11001－111；
（3）110101－1111＋101；
（4）1001＋1110－10011。
3．乘法
⼆进制只有两个数码0和1，乘法⼝诀只有以下⼏条：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1概括成⼝诀：零零得零，⼀零得零，⼀⼀得⼀。
⼆进制乘法算式和⼗进制写法也⼀样。
例5 ⼆进制乘法
（1）1001×101；
（2）11001×1010。
解
（1）1011×101＝110111；（2）11001×1010＝。
例6⼆进制运算
（1）101×1101；
（2）1101×101；
（3）（101＋11）×1010；
（4）101×1010＋11×1010。解（1）（2）
101×1101＝；1101×101＝；
（3）
（101＋11）×1010＝；
（4）
101×1010＋11×1010＝
从例6的计算结果可以看出，⼆进制乘法满⾜“交换律”；乘法对加法也满⾜“分配律”。对这⼀结论，⼤
家还可以进⾏多次验证。巩固练习⼆进制运算
（1）1011×1101；
（2）11101×1001；
（3）10101×（111＋101）；
（4）（11001－1111）×101
4．除法
除法是乘法的逆运算，⼆进制除法和⼗进制除法也⼀样，⽽且更简单，每⼀位商数不是0，就是1。
例7⼆进制除法
（1）÷1001；
（2）÷111。
解（1）（2）
÷1001＝10010；÷111＝10101。
例8求⼆进制除法的商数和余数
111010÷101
解
数学二进制的算法
111010÷101 所得商数是1011，余数是11。
巩固练习⼆进制除法
（1）÷101；
（2）1010110001÷1101；
（3）求商数和余数
÷1001
在⼆进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和⼗进制除法的关系是相同的。被除数＝除数×商数＋余数。
如例8，111010＝101×1011＋11。
⼆进制的四则运算
⼆进制也可以进⾏四则运算，它的运算规则如下所⽰：
加运算0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1
减运算1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向⾼位借1当2）
乘运算0*0=0，0*1=0，1*0=0，1*1=1
除运算⼆进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0.
例1：求（1011101）B与（0010011）B之和例2：求（1101）B与（0101）B的乘积
通过例(1)我们再来介绍两个概念：半加和全加。
半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。
全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。
2.3 ⼆进制数的运算
⼆进制数的运算除了有四则运算外，还可以有逻辑运算。下⾯分别予以介绍。
2.3.1 ⼆进制数的四则运算
⼆进制数与⼗进制数⼀样，同样可以进⾏加、减、乘、除四则运算。其算法规则如下：
加运算：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10，#逢2进1；
减运算：1-1=0，1-0=1，0-0=0，0-1=1，#向⾼位借1当2；
乘运算：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1，#只有同时为“1”时结果才为“1”；
除运算：⼆进制数只有两个数（0，1），因此它的商是1或0。
1．加、减法运算⽰例
例如：求（1101）2+（1010）2之和；求（110000）2–（10111）2之差，这两个计算过程分别如图2-12的（a）/（b）所⽰。
图2-12 ⼆进制数加、减法计算⽰例
加法运算步骤
图2-12（a）所⽰的加法运算步骤如下：
（1）⾸先是最右数码位相加。这⾥加数和被加数的最后⼀位分别为“0”和“1”，根据加法原则可以知道，相加后
为“1”。
（2）再进⾏倒数第⼆位相加。这⾥加数和被加数的倒数第⼆位都为“1”，根据加法原则可以知道，相加后为“（10）2”，此时把后⾯的“0”留下，⽽把第⼀位的“1”向⾼⼀位进“1”。
（3）再进⾏倒数第三位相加。这⾥加数和被加数的倒数第⼆位都为“0”，根据加法原则可以知道，本来结果应为“0”，但倒数第⼆位已向这位进“1”了，相当于要加“被加数”、“加数”和“进位”这三个数的这个数码位，所以结果应为0+1=1。
（4）最后最⾼位相加。这⾥加数和被加数的最⾼位都为“1”，根据加法原则可以知道，相加后为“（10）2”。⼀位只能有⼀个数字，所以需要再向前进“1”，本⾝位留下“0”，这样该位相加后就得到“0”，⽽新的最⾼位为“1”。通过以上运算，可以得到（1101）2+（1010）2=10101。
减法运算步骤
对于图2-12（b）所⽰的减法运算，在此专门解释⼀下。图中的“借位”⾏中某些位上⽅有标有“1”，表⽰该位被借数。具体过程为从被减数的右边第⼀位开始减去减数，这与⼗进制数的减法运算⼀样。在本例中，最低为“0”，由于0减去1，“0”⽐“1”⼩，⽽需要向右数第⼆位借位，⽽这⾥的第⼆位也为“0”，不够借转，需要继续⽽向右数第三位，以此类推，最后从右数第五位借
得“1”。下⾯是具体的去处过程：
（1）⾸先最后⼀位向倒数第⼆位借“1”，相当于得到了（10）2，也就是相当于⼗进制数中的“2”，⽤2减去1得1。
（2）再计算倒数第⼆位，因为该位同样为“0”，不及减数“1”⼤，需要继续向倒数第三位借“1”（同样是借“1”当“2”），但因为它在上⼀步中已借给了最后⼀位“1”（此时是真实的“1”），则倒数第⼆位⽬前为1，与减数“1”相减后得到“0”。
（3）⽤同样的⽅法倒数第三位要向它们的上⼀位借“1”（同样是当“2”），但同样已向它的下⼀位（倒数第⼆位）借给“1”（此时也是真实的“1”），所以最终得值也为“0”。
（4）被减数的倒数第四位尽管与前⾯的⼏位⼀样，也为“0”，但它所对应的减数倒数第四位却为“0”，⽽不是前⾯⼏位中对应
的“1”，它向它的⾼位（倒数第五位）借“1”（相当于“2”）后，在借给了倒数第四位“1”（真实的“1”）后，仍有“1”余，1–0=1，所以该位结果为“1”。
（5）被减数的倒数第五位原来为“1”，但它借给了倒数第四位，所以最后为“0”，⽽此时减数的倒数第五位却为“1”，这样被减数需要继续向它的⾼位（倒数第六位）借“1”（相当于“2”），2–1=1。
（6）被减数的最后⼀位本来为“1”，可是借给倒数第五位后就为“0”了，⽽减数没有这个位，这样结果也就是被减数的相应位值⼤⼩，此处为“0”。
这样（110000）2–（10111）2最终的结果应该是：011001，最⾼位的“0”可以舍掉，就得到了11001这个结果。在⼆进制数的加、减法运算中⼀定要联系上⼗进制数的加、减法运算⽅法，其实它们的道理是⼀样的，也是⼀⼀对应的。在⼗进制数的加法