2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编  数列小题 （精解精析）
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是    (  )
A．    B．    C．    D．
【答案】C
解析：由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则    (  )
A．2    B．3    C．4    D．5
【答案】C
解析：在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)    (  )
    (  )
A．3699块    B．3474块    C．3402块    D．3339块
【答案】C
解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以．
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
4进制数转换公式．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则    (  )
A．16    B．8    C．4    D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出．
【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题大有裨益．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则    (  )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：，
所以，故选A．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则    (  )
A．    B．    C．    D．
【答案】B
解析：∵为等差数列的前项和，，，∴，把，代入得∴，故选B．
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是    (  )
A．    B．    C．    D．
【答案】A
【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力．
不妨设(其中)
则有,因为,所以
由等比数列的前项和公式可得
因为,所以
所以即,因为
所以,故
所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意
当时,,故满足题意的的最小值为．
解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出．
解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为:
所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即
又,所以,所以,所以,所以
当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性
当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A．