幂函数与指数函数的区别
幂函数与指数函数得区别
1、指数函数：自变量x在指数得位置上，y=a^x(a>0,a不等于1)
性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0；
当0<ａ<1时,函数就就是递减函数,且y>0、
2、幂函数:自变量ｘ在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、
a不等于1,但可正可负,取不同得值，图像及性质就就是不一样得。
高中数学里面,主要要掌握a=-１、２、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。
3、ｙ＝８＾(-0、7)就就是一个具体数值，并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=８),当x＝-0、7时,y得值;或者将其瞧成：幂函数y=x^（-0、７)(a=－0、7），当x=8时,y得值。
幂函数得性质:
根据图象，幂函数性质归纳如下：
（１)所有得幂函数在（0，+∞)都有定义,并且图象都过点（1，1);
（2)当ａ＞0时，幂函数得图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、
特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸；当0＜ａ＜1时,幂函数得图象上凸；(3)当ａ<0时，幂函数得图象在区间(0,＋∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋
于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴ｘ正半轴。
指出：此时ｙ=ｘ０＝1;定义域为(－∞,０）∪（0,+∞),特别强调,
当x为任何非零实数时，函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于ｘ轴得两条射线,但点(0，1)要除外。
思考讨论:
(１)在幂函数y=xａ中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? （2)在幂函数ｙ=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质?
讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时，函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。
对数函数得性质
(1)当a>1时,
①x >0,即０与负数无对数;
②当ｘ=1时,ｙ=0;
③当ｘ＞1时,y＞0;当0＜x ＜１时,y ＜０;
④在(0,+∞）上就就是增函数、
(2）当0<a＜1时，< p="">
①x >0,即0与负数没有对数;
②当x＝１时,y=0;
③当x >1时,y ＜０;当０＜x <１时,y ＞０；
④在(0,+∞)上就就是减函数、
函数叫做幂函数,其中x就就是自变量，a就就是常数(这里我们只讨论a就就是有理数ｎ得情况)、
对数与对数函数
1、理解对数概念；?
2、能进行对数式与指数式得互学习目标?
化;
3、掌握对数得运算性质;?
4、培养应用意识、化归意识。
５、掌握对数函数得概念;?6、掌握对数函数得图像得性质;
7、掌握比较对数大小得方法，培养应用意识；?８、培养图形结合、化归等思想。
知识要点：?我们在学习过程遇到2ｘ=4得问题时,可凭经验得到ｘ=2得解，而一旦出现2x=３时，我们就无法用已学过得知识来解决,从而引入出一种新得运算——对数运算。
1、对数得定义:
如果ab=Ｎ(a＞0,且a≠１）,那么数b叫做以ａ为底Ｎ得对数,记作:logaN＝b。其中ａ叫做对数得底数,Ｎ叫做真数。
注意:由于a>0,故N＞0,即N为正数,可见零与负数没有对数。?上面得问题:
通常将以1０为底得对数叫做常用对数,。以e为底得对数叫做自然对数,。
2、对数式与指数式得关系?由定义可知:对数就就就是指数变换而来得，因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。它们得关系可由下图表示。
由此可见a，ｂ，N三个字母在不同得式子中名称可能发生变化。
３、三个对数恒等式
由于对数式与指数式可以互化,因此指数得恒等转化为对数恒等式。在（ａ>0，a≠１)前提下有:
４、三个运算法则:
指数得运算法则通过转化可变为对数得运算法则。在a>0,a≠1得前提下有:
(1)
令aｍ=M,an=N,则有ｍ＝lｏgaＭ,ｎ=loｇａＮ，
∵,∴m＋n＝loga(MN）,即
(2),
令am=Ｍ,an＝Ｎ,则有m=lｏgａM,ｎ=ｌｏgaＮ，
∵,∴,即。
(3）,令aｍ=M,则有ｍ=loｇaM,∴mn＝n
∵Ｍn=ａmｎ,∴mn= (n∈Ｒ），∴n ＝。
5、两个换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在ａ>0,a≠1，M＞0得前提下有:
（1)
令ｌogaＭ＝b,则有aｂ=Ｍ,（ａb)n=Ｍn,即，即，即：。
(2),令ｌogａM=b，则有ａb=Ｍ，则有
即,即,即
当然,细心一些得同学会发现(1)可由（2)推出，但在解决某些问题（１）又有它得灵活性。而且由（2）还可以得到一个重要得结论:
例题选讲:
第一阶梯
[例1]将下列对数式化为指数式,指数式化为对数式:
(1)ｌoｇ2１6=４；（３)５4=６
25;
解:
(1)2４＝16
（3)∵54=625,∴log5６25=4、
[例2］解下列各式中得x:
(３)２x＝３;
（4）log3（x-1)=log9(x+5)、
解:
（3)x=log23、
(4)将方程变形为
[例３]求下列函数得定义域:
思路分析:
求定义域即求使解析式有意义得ｘ得范围,真数大于0、底大于0且不等于1就就是对数运算有意义得前提条件。
解:
(1)令x2-4x－5>０,得(x－５）(x+1)＞0,故定义域为{x｜ｘ<-1,或
x>5}
∴０＜4x－3≤１。
所以所求定义域为{x|-１＜０,或0＜X＜２}、< ＳPAＮ>
第二阶梯
［例4]比较下列各组数中两个值得大小
(１)ｌog23、4， lｏg28、5；
对数函数图像及性质(2）log0．３１.8, loｇ0、３2、7;
(３）lｏgａ５、1, logａ5、9（ａ>0,a≠１)。
思路分析：
题中各组数可分别瞧作对数函数ｙ=log２ｘ、y=log0、3x、y=loｇax得两函数值,可由对数函数得单调性确定。
解：
(1)因为底数2>１,所以对数函数y=lｏｇ2x在(0,+∞)上就就是增函数,于就就是lｏg23、4＜LOG２8、5；
（2）因为底数为０、3,又0<0、3<1,所以对数函数y=log０、3x在(０,+∞)上就就是减函数,于就就是loｇ0．3１．８＞ｌoｇ0、32、７;