浮点数表⽰⽅法
之前的⼀些⼯作当中碰到了很多有关浮点数的问题，⽐如浮点数的表达范围、表达精度、浮点数的存储⽅式、浮点数的强制类型转换等等，因此感觉有必要系统了解⼀下有关浮点数的问题。
浮点数表⽰
浮点数是⼀种 公式化 的表达⽅式，⽤来近似表⽰实数，并且可以在表达范围和表⽰精度之间进⾏权衡（因此被称为浮点数）。
浮点数通常被表⽰为：
N=M×R^E
⽐如： 12.345=1.2345×10^1
其中，M(Mantissa)被称为浮点数的 尾数 ，R(Radix)被称为阶码的 基数 ，E(Exponent)被称为阶的 阶码 。计算机中⼀般规定R为2、8或16，是⼀个确定的常数，不需要在浮点数中明确表⽰出来。
因此，在已知标准下，要表⽰浮点数，
⼀是要给出尾数M的值，通常⽤定点⼩数形式表⽰，它决定了浮点数的表⽰精度，即可以给出的有效数字的位数。
⼆是要给出阶码，通常⽤定点整数形式表⽰，它指出的是⼩数点在数据中的位置，决定了浮点数的表⽰范围。因此，在计算机中，浮点数通常被表⽰成如下格式:（假定为32位浮点数，基为2，其中最⾼位为符号位）
浮点数的规格化表⽰
按照上⾯的指数表⽰⽅法，⼀个浮点数会有不同的表⽰：
0.3×10^0；0.03×10^1；0.003×10^2；0.0003×10^3；
为了提⾼数据的表⽰精度同时保证数据表⽰的唯⼀性，需要对浮点数做规格化处理。
在计算机内，对⾮0值的浮点数，要求尾数的绝对值必须⼤于基数的倒数，即|M|≥1/R。
即要求尾数域的最⾼有效位应为1，称满⾜这种表⽰要求的浮点数为规格化表⽰：把不满⾜这⼀表⽰要
求的尾数，变成满⾜这⼀要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。
⽐如，⼆进制原码的规格化数的表现形式：(0正1负)
正数 0.1xxxxxx
负数 1.1xxxxxx
注意，尾数的最⾼位始终是1，因此我们完全可以省略掉该位。
⾄此，我们引⼊IEEE754 标准，该标准约束了浮点数的⼤部分使⽤设置：(尾数⽤原码；阶码⽤“移码”；基为2)
(1) 尾数⽤原码，且隐藏尾数最⾼位。
原码⾮0值浮点数的尾数数值最⾼位必定为 1，因此可以忽略掉该位，这样⽤同样多的位数就能多存⼀位⼆进制数，有利于提⾼数据表⽰精度，称这种处理⽅案使⽤了隐藏位技术。当然，在取回这样的浮点数到运算器执⾏运算时，必须先恢复该隐藏位。
(2) 阶码使⽤“移码”，基固定为2
如下图的32bit浮点数和64bit浮点数，从最⾼位依次是符号位、阶码和尾数
于是，
⼀个规格化的32位浮点数ｘ的真值为：
x=(−1)^s×(1.M)×2E^−127
⼀个规格化的64位浮点数ｘ的真值为：
x=(−1)^s×(1.M)×2E^−1023
下⾯举⼀个32位单精度浮点数-3.75表⽰的例⼦帮助理解：
(1) ⾸先转化为2进制表⽰
−3.75=−(2+1+1/2+1/4)=−1.111×2^1
(2) 整理符号位并进⾏规格化表⽰
−1.111×2^1=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1
(3) 进⾏阶码的移码处理
(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^1
=(−1)^(1)×(1+0.1110 0000 0000 0000 0000 000)×2^(128−127)
浮点数的基数什么意思于是，符号位S=1，尾数M为1110 0000 0000 0000 0000 000
阶码E为12810=1000 00002
，则最终的32位单精度浮点数为
1 1110 0000 0000 0000 0000 000 1000 0000
浮点数的表⽰范围
通过上⾯的规格化表⽰，我们可以很容易确定浮点数的表⽰范围：
既然有表⽰范围，那肯定也有不能表⽰的数值：
⾸先来说明溢出值，如下图：
(1)⽆穷值：
如果指数E=11111111(2)=255(10)
且尾数M=0
，则根据符号位S分别表⽰+∞
和−∞
。因此，⼀个有效的32位浮点数其指数最⼤只能为254。
此外，⽆穷具有传递性，⽐如
(+∞) + (+7) = (+∞)
(+∞) × (−2) = (−∞)
(+∞) × 0 = NaN
(2)零值：
如果指数E=0
且尾数M=0
时，表⽰机器0.需要注意的是，这⾥的0也是有符号的，在数值⽐较的时候 +0=−0
； 但在⼀些特殊操作下，⼆者并不显相等，⽐如log(x), 1/+0≠1/−0。
此外，处于负下溢出和负上溢出之间的数值会被直接归为0。
(3)NAN：
如果E=0，且尾数M≠0，则表⽰这个值不是⼀个真正的值（Not A Number）。NAN⼜分成两类：QNAN（Quiet NAN）和
SNAN（Singaling NAN）。QNAN与SNAN的不同之处在于，QNAN的尾数部分最⾼位定义为1，SNAN最⾼位定义为0；QNAN⼀般表⽰未定义的算术运算结果，如0/0, ∞×0, sqrt(−1)；SNAN⼀般被⽤于标记未初始化的值，以此来捕获异常。
浮点数的表⽰精度
⼀般提到浮点数的精度（有效位数）的时候，总是会出现 float的有效位为6~7位, double的有效位为15~16位 。
下⾯以float为例，解释⼀下有效位数是怎样来的。
有效位数只和规格化浮点数的尾数部分有关，⽽尾数部分的位数是23位，因此我们⾸先列出下表
由上⾯的表格可以看出：
2^−23 和 2^−22 之间是存在间隔的，即0.0000001和0.0000002之间的⼩数我们是没有办法描述的，因此23位尾数最多只能描述到⼩数点后第7位；此外，我们通过四舍五⼊可以很容易发现0.0000003=0.0000004=2^−23+2^−22
, 这表明第7位有效数字只是部分准确。⽽第6位及之前的都是可以准确描述的，因此我们说float的有效位为6~7位。
参考资料