2020北京初三数学竞赛 专题练习：极端原理（含答案）
1. 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚．使得对方无法按照规则再放，谁就获胜．问：是先放合算还是后放合算？
解析  本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币．这时当然是先放的人合算．
一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜．
2. 在一次乒乓球循环赛中，（≥3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中出三名选手、、，使得胜，胜，胜．
解析  没取胜场数最多的一名选手为，由于没有一个选手是全胜的，所以在这名选手中存在一名选手，胜．
考虑击败的选手的全体，其中必有选手胜．事实上，若的手下败将也都负于，那么胜的场数比胜的场数至少要多1，这与是获胜场数最多的选手矛盾．
所以，存在三名选手、、，使得胜，胜，胜．
3. 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红，证明：至少有1991个红点，能否到恰有1991个红点的点．
解析  997个点中每两点都有一个距离，因而共有个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离．设是最大的距离．
分别以、为圆心，为半径作圆，如图所示．点与除点之外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上；点与除点外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上，这样我们得到了    995+995＝1990个红点．
另外，的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点．
下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，…，997的位置．这时中点为：，，，…，，，故红点恰有1991个．
4. 证明：在任意的凸五边形中，都可以到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形．
解析  如图所示，在凸五边形中，一共有5条对角线：、、、、，所以其中一定有一条是最长的，不妨设最长．
由于是凸四边形，设与的交点为，则
．
因为最长，所以，、、这三条对角线可以作为一个三角形的三条边．
5. 平面上给定3个点。已知其中任意两点的距离不超过1，证明：这3个点被一个半径为等的圆覆盖．
解析  设三点为、、，不妨设，，当≥时．易知以删为直径的圆可覆盖（此圆半径≤≤<），当时，为锐角三角形，设外心为在内部．由于，故外接圆半径，故结论成立．
6. 平面上给定2005个点，任意两点距离小于2005，任意三点是某个钝角三角形的顶点．求证：存在直径不超过2005的圆覆盖这2005个点．
解析  在这2005个点中，设两两之间距离最大的两点是、且．则以为直径的圆覆盖了这2005个点．
这是因为，如图分别过、作垂线、，则给定的点不能在直线、数学数组的定义是什么围成的带形之外．否则这点到点（或）距离大于，这与的最大性矛盾．
同时，给定的点也不能在带形内部的圆外．否则，这点与、不构成钝角三角形，与已知条件矛盾．
故结论成立．
7. 平面上给定个点，其中任意三点都至少有两点距离小于l，证明：可以出其中个点位于半径为1的圆内．
解析  考虑距离最远的两个点、．以、为圆心、半径为l作两个圆，若有点在这两个圆外或边上，则、≥1，于是由条件知只能有<l，与的定义矛盾，因此没有点在这两个圆外或边上．于是由抽屉原理，至少有个点在其中一个圆的内部．
8. 在平面上任给个点，其中任意三点不共线，并把其中”个点染成红，个点染成蓝．求证：可以一红一蓝地把它们连成条线段，使这些线段互不相交．
解析  因为总共只有个点，将红点与蓝点一一配对的方法只有有限种（实际上为种，即第一个红点可与个蓝点中的某一个配对，有种可能，第二个红点与剩下的个蓝点中的某一个配对，有种可能……第个红点与剩下的一个蓝点配对，有1种可能）．对于每一种配对方法，都会得到这条线段的长度和，这种和数只有有限个（其实不超过个），所以其中必有一个是最小的，下证这时候条线段是互不相交的．
用反证法．假定此时有两条线段和相交，其中、是红点，、是蓝点，设它们的交点为（如图）．由于
，
所以，当我们将与配对，与配对，其他的保持不变，这时候条线段的长度和减少了，矛盾．因此这时条线段是互不相交的．
9. 能否在平面上安排有限条线段，使每一条线段都至少有一端点严格地位于其他某条线段的内部？
解析  不可能，因为有限条线段中不妨设最长的是，且位于另一条线段中，由于，不妨设，于是，与的定义矛盾．这个命题即使在空间也是成立的．
10. 平面上有个点，其中任意三点不共线，且任意三点构成的三角形的面积都小于1．证明：存在一个面积小于4的三角形包含这个点．
解析  我们先通过取极端制造一个面积小于4的三角形，然后用反证法证明这个三角形包含这个点．
个点中任意三点作一个三角形，三角形的个数是有限的（其实为个），每一个三角形都有一个面积，取其中面积最大的一个记为．由于每个三角形的面积都小于1，所以．
过顶点，，分别作对边的平行线，得到一个，如图所示．显然
．
下面证包含了这个点．用反证法．设外还有这个点中的一点，设为（不妨设在“外侧”）．如图，则
，
这与的面积最大矛盾．于是即为所求．
11. 设是大于2的自然数，是小于且与互质的全部正整数．证明：这个数中必定有一个是质数．
解析  显然，又，所以．
我们证明是质数．它是异于1、小于且和互质的最小正整数．
如果不是质数，则因为，所以，这里、都是大于1的正整数．既然与互质，、也与互质，但，这就和上述的最小性矛盾．
12. 考虑一个无限大的棋盘，棋盘的每个方格内有一个正整数．若方格中的每个数是其上下左右四个数的平均值．证明所有的数都相等．
解析  若这些正整数不相等，设为其中的最小值，则必有某一块与含相邻且严格大于．又含方格中的等于与之相邻的4块的平均值，每块都不小于，有一块大于．这就得到一个矛盾．
13. 草场上有15个男孩在玩球，每人手上有一个球．任何两人的距离皆不相等．每个男孩把自己手里的球抛向距离自己最近的那个男孩．